I. Định nghĩa và tính chất • Định nghĩa: Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^a\) được gọi là hàm số lũy thừa. • Đạo hàm : \(y'=a.x^{a-1}\). (Chú ý: hàm hợp \(y=u^{\alpha}\) thì \(y=\alpha.u'.u^{\alpha-1}\)) • Tính chất : a > 0 : Hàm số luôn đồng biến. a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến II. Khảo sát hàm số lũy thừa Tách 2 trường hợp: \(\alpha>0\) và \(\alpha< 0\). \(y=x^{\alpha}\) (\(\alpha>0\))\(y=x^{\alpha}\) (\(\alpha< 0\))Miền khảo sát\(\left(0;+\infty\right)\) Chú ý: khi khảo sát với \(\alpha\) cụ thể, miền xác định có thể là R)\(\left(0;+\infty\right)\) Chú ý: khi khảo sát với \(\alpha\) cụ thể, miền xác định có thể là R)Sự biến thiên\(y'=\alpha x^{\alpha-1}>0,\forall x>0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim\limits_{x\rightarrow+0}x^{\alpha}=0;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{\alpha}=+\infty\) Tiệm cận: không có\(y'=\alpha x^{\alpha-1}>0,\forall x>0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x^{\alpha}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{\alpha}=0\) Tiệm cận: -TCN: trục Ox - TCĐ: trục OyBảng biến thiên Đồ thị Đồ thị luôn đi qua (1;1) Đồ thị luôn đi qua (1;1)
Hàm số \(y=x^a\) luôn đồng biến hay nghịch biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) Luôn đồng biến Luôn nghịch biến Không xác định được Hướng dẫn giải: Hàm \(y=x^a\) đồng biến với \(\alpha>0\) và nghịch biến với \(\alpha< 0\).
Đạo hàm của hàm số \(y=\left(2x^2+1\right)^2\) là: \(2\left(2x^2+1\right)\) \(8x\left(2x^2+1\right)\) \(8x\left(2x^2+1\right)^2\) \(\left(2x^2+1\right)\) Hướng dẫn giải: \(y=\left(2x^2+1\right)^2\) \(y'=2\left(2x^2+1\right)'\left(2x^2+1\right)^{2-1}\) (áp dúng \(\left(u^n\right)'=n.u'u^{n-1}\)) \(y'=2\left(4x\right)\left(2x^2+1\right)\) \(y'=8x\left(2x^2+1\right)\)
Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số \(y=x^a\) có tiệm cận a > 0 a < 0 Không có giá trị nào Hướng dẫn giải: Khi a < 0 thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x^a=+\infty\) => đồ thị có tiệm cận đứng x = 0 \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^a=0\) => đồ thị có tiệm cận ngang y = 0 Khi a > 0 hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(5-x\right)^{\sqrt{3}}\) \(y'=\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}\) \(y'=-\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}\) \(y'=-\sqrt{3}\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}\) \(y'=\sqrt{3}\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}\) Hướng dẫn giải: \(y=u^{\alpha}\) => \(y'=\alpha.u'.u^{\alpha-1}\) Với hàm số đã cho ta có: \(y'=\sqrt{3}\left(5-x\right)'\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}=-\sqrt{3}\left(5-x\right)^{\sqrt{3}-1}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(2x^2-x+1\right)^{\frac{1}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3}\left(4x-1\right)\left(2x^2-x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3}\left(4x-1\right)\) \(y'=\frac{1}{3}\left(4x-1\right)\left(2x^2-x+1\right)^{\frac{1}{3}}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \((u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u'\)
Cho hàm số \(y=x^{-\sqrt{2}}\). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng Đồ thị hàm số đã cho không có tiêm cận ngang và có một tiệm cận đứng Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng Hướng dẫn giải: \(y=x^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{x^{\sqrt{2}}}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}y=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}y=-\infty\) nên đồ thị có tiệm cận đứng x=0. \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=0\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0
Tính đạo hàm của hàm số \(y=x^{-\frac{1}{3}}\) ? \(y'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}\) \(y'=-\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}}\) \(y'=-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\) \(y'=-\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\) Hướng dẫn giải: \(y=x^{-\frac{1}{3}}\) \(\Rightarrow y'=-\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1}=-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{4}}\) ? \(y'=-\frac{1}{4}\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\) \(y'=-\frac{5}{2}x\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\) \(y'=\frac{5}{2}x\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\) \(y'=\frac{1}{2}x\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\) Hướng dẫn giải: \(y=\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{4}}\) \(y'=\left(-\frac{1}{4}\right)\left(1-x^2\right)'\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{4}-1}\) \(=-\frac{1}{4}\left(-2x\right)\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\) \(=\frac{1}{2}x\left(1-x^2\right)^{-\frac{5}{4}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(1-2\cos2x\right)^4\) ? \(y'=4\left(1-2\cos2x\right)^3\) \(y'=-4\left(1-2\cos2x\right)^3\sin2x\) \(y'=8\left(1-2\cos2x\right)^3\sin2x\) \(y'=16\left(1-2\cos2x\right)^3\sin2x\) Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \((u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u'\) ta có: \(y=\left(1-2\cos2x\right)^4\) suy ra \(y'=4\left(1-2\cos2x\right)'\left(1-2\cos2x\right)^3\) \(=4.4\sin2x\left(1-2\cos2x\right)^3\)
