Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(2x^2-x+1\right)^{\frac{1}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\) \(y'=\frac{4x-1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{\frac{4}{3}}\) \(y'=\frac{1}{3\left(4x-1\right)}\left(2x2-x+1\right)\) Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp và sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa: Đặt \(u=2x^2-x+1\) thì \(y=u^{\frac{1}{3}}\) , suy ra \(y'=u'_x.y'_u=\left(4x-1\right).\frac{1}{3}.u^{\frac{1}{3}-1}=\frac{4x-1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(4-x-x^2\right)^{\frac{1}{4}}\) \(y'=\frac{-2x-1}{4}\left(4-x-x^2\right)^{-\frac{3}{4}}\) \(y'=\frac{1}{4}\left(4-x-x^2\right)^{-\frac{3}{4}}\) \(y'=\frac{1}{4\left(-1-2x\right)}\left(4-x-x^2\right)^{-\frac{3}{4}}\) \(y'=\frac{-1-2x}{4}\left(4-x-x^2\right)^{\frac{5}{4}}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(u=4-x-x^2\) thì \(y=u^{\frac{1}{4}}\) , suy ra \(y'_x=y'_u.u'_x=\frac{1}{4}u^{\frac{1}{4}-1}.\left(4-x-x^2\right)'=\frac{-1-2x}{4}\left(4-x-x^2\right)^{-\frac{3}{4}}\)
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? \(y=x^6\) \(y=x^{\sqrt{2}}\) \(y=x^{-4}\) \(y=x^{\pi}\) Hướng dẫn giải: Để thấy đồ thị có tiệm cận ngang y = 0. Trong các hàm trên chỉ có hàm \(y=x^{-4}\) có tiệm cận ngang y=0.
Cho biểu thức \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}}\) với \(x>0\) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? \(P=x^{\frac{1}{2}}\) \(P=x^{\frac{13}{24}}\) \(P=x^{\frac{1}{4}}\) \(P=x^{\frac{2}{3}}\) Hướng dẫn giải: \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}}=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x^2x^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x^{2+\frac{3}{2}}}}\) \(=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x^{\frac{7}{2}}}}=\sqrt[4]{x\left(x^{\frac{7}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{x.x^{\frac{7}{6}}}=\sqrt[4]{x^{1+\frac{7}{6}}}=\sqrt[4]{x^{\frac{13}{6}}}\) \(=\left(x^{\frac{13}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{13}{24}}\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\left(4x^2-9\right)^{-4}\). \(\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) \(\left[-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right]\) (\(-\infty;-\frac{3}{2}\)] \(\cup\)[\(\frac{3}{2};+\infty\)) \(\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Để hàm số có nghĩa thì: \(4x^2-9>0\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(2x^2-x+5\right)^{\frac{1}{3}}\). \(y'=\frac{4x-1}{3\sqrt[3]{2x^2-x+5}}\) \(y'=\frac{4x-1}{\sqrt[3]{\left(2x^2-x+5\right)^2}}\) \(y'=\frac{4x-1}{3\sqrt[3]{\left(2x^2-x+5\right)^2}}\) \(y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{2x^2-x+5}}\) Hướng dẫn giải: Tính theo công thức đạo hàm của hàm hợp \(\left(u^{\alpha}\right)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u'\). \(y'=\frac{1}{3}\left(2x^2-x+5\right)^{\frac{1}{3}-1}.\left(2x^2-x+5\right)'\) \(=\frac{4x-1}{3\sqrt[3]{\left(2x^2-x+5\right)^2}}\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên toàn tập xác định của nó? \(y=x^{-6}\) \(y=x^2\) \(y=\sqrt[5]{x}\) \(y=x^{-\frac{2}{3}}\) Hướng dẫn giải: \(y=x^{-6}\), miền xác định \(x>0\), \(y'=-6.x^{-7}< 0\) hàm số nghịch biến. \(y=x^2\) có đồ thị Parabol, nghịch biến trên \(\left(-\infty;0\right)\). \(y=\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\) , miền xác định là \(x>0\) , \(y'=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}.x^{-\frac{4}{5}}>0\) hàm số đồng biến trên miền xác định. \(y=x^{-\frac{2}{3}}\), miền xác định \(x>0\), \(y'=-\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1}=-\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}< 0\), hàm số nghịch biến trên miền xác định.
Tìm tập xác định D của hàm số \( y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{ - 3}}\) \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) \(D=\)\(\mathbb{R}\) \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right) \) \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{-1;2\right\}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện biểu thức có nghĩa là \({x^2} - x + 2 \ne 0\). \(\Rightarrow TXD:D = R\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}\)
