I. Định nghĩa và tính chất của hàm mũ a) Định nghĩa hàm mũ: Hàm số \(y=a^x\) (a > 0, a \(\ne\) 1)được gọi là hàm số mũ cơ số a. Chú ý: hàm mũ (\(a^x\)) khác hàm lũy thừa (\(x^a\)). b) Đạo hàm của hàm số mũ \(\left(e^x\right)'=e^x\) \(\left(a^x\right)'=a^x.\ln a\) \(\left(a^u\right)'=u'.a^u.\ln a\) c) Tính chất khi a > 1 hàm số luôn đồng biến khi a < 1 hàm số luôn nghịch biến II. Khảo sát hàm số mũ Tách 2 trường hợp: \(a>1\) và \(0< a< 1\). \(y=a^x\) (\(\alpha>1\))\(y=a^x\) (\(0< a< 1\))Tập xác định\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)Sự biến thiên\(y'=a^x.\ln a>0,\forall x>0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=0\) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty\) Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang\(y'=a^x.\ln a< 0,\forall x>0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=+\infty\) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=0\) Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngangBảng biến thiên Đồ thị Đồ thị luôn đi qua (0;1) Đồ thị luôn đi qua (0;1)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=log_2\left(x^2-2x-3\right)\) D = (\(-\infty;-1\)] \(\cup\) [\(3;+\infty\)) D = [\(-1;3\)] D = (\(-\infty;-1\)) \(\cup\) (\(3;+\infty\)) D = (\(-1;3\)) Hướng dẫn giải: Tập xác định của hàm logarit là biểu thức dưới dấu logarrit dương. \(x^2-2x-3>0\) \(x\in\) (\(-\infty;-1\)) \(\cup\) (\(3;+\infty\))
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x+1}{4^x}\) \(y'=\frac{1-2\left(x+1\right)ln2}{2^{2x}}\) \(y'=\frac{1+2\left(x+1\right)ln2}{2^{2x}}\) \(y'=\frac{1-2\left(x+1\right)ln2}{2^{x^2}}\) \(y'=\frac{1+2\left(x+1\right)ln2}{2^{x^2}}\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{x+1}{4^x}\) \(y'=\frac{4^x\left(x+1\right)'-\left(x+1\right)\left(4^x\right)'}{\left(4^x\right)^2}\) \(=\frac{4^x-\left(x+1\right)4^xln4}{4^{2x}}\) \(=\frac{4^x\left[1-\left(x+1\right)ln4\right]}{4^{2x}}\) \(=\frac{1-\left(x+1\right)ln2^2}{4^x}\) \(=\frac{1-2\left(x+1\right)ln2}{2^{2x}}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\ln\left(4x-x^2\right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây: \(f'\left(2\right)=1\) \(f'\left(2\right)=0\) \(f'\left(5\right)=1,2\) \(f'\left(-1\right)=-1,2\) Hướng dẫn giải: Tập xác định của f(x) là: \(4x-x^2>0\) (*) Theo công thức đạo hàm của hàm hợp: \(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\) Ta có: \(f'\left(x\right)=\frac{\left(4x-x^2\right)'}{4x-x^2}=\frac{4-2x}{4x-x^2}\) Vậy ta có: \(f'\left(2\right)=\frac{4-2.2}{4.2-2^2}=0\) \(f'\left(5\right);f'\left(-1\right)\) không xác định vì x=5 hoặc x = -1 không thỏa mã (*)
Cho hàm số \(y=\log_{\sqrt{2}}x\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ? Hàm số đã cho có tập xác định \(P=R\backslash\left\{0\right\}\) Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định Hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục Oy Hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=\log_{\sqrt{2}}x\) là hàm logarit có cơ số \(\sqrt{2}>1\) nên có tính chất sau: + Miền xác định \(x>0\) + Hàm số đồng biến trên miền xác định + Hàm số có tiệm cận đứng x = 0 + Hàm số không có tiệm cận ngang
Cho hàm số \(y=\log_{\frac{1}{3}}\left|x\right|\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ? Hàm số đã cho có tập xác định \(P'=R\backslash\left\{0\right\}\) \(y'=-\frac{1}{x\ln3}\) Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục Oy Hướng dẫn giải: Chú ý: \(y=\log_{\frac{1}{3}}\left|x\right|=\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}x,x>0\\\log_{\frac{1}{3}}\left(-x\right),x< 0\end{cases}\) \(y'=\begin{cases}\frac{1}{x\ln\frac{1}{3}},x>0\\\frac{-1}{-x\ln\frac{1}{3}},x< 0\end{cases}\) \(=\frac{1}{x\ln\frac{1}{3}}=\frac{1}{-x\ln3}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log_{\frac{2}{3}}\left|x\right|\) ? \(y'=\frac{\ln3}{x\ln2}\) \(y'=\frac{\ln3}{\left|x\right|\ln2}\) \(y'=\frac{1}{\left|x\right|\left(\ln2-\ln3\right)}\) \(y'=\frac{1}{x\left(\ln2-\ln3\right)}\) Hướng dẫn giải: \(y=\log_{\frac{2}{3}}\left|x\right|=\begin{cases}\log_{\frac{2}{3}}x,x>0\\\log_{\frac{2}{3}}\left(-x\right),x< 0\end{cases}\) \(y'=\begin{cases}\frac{1}{x\ln\frac{2}{3}},x>0\\\frac{\left(-x\right)'}{\left(-x\right)\ln\frac{2}{3}},x< 0\end{cases}\) \(=\begin{cases}\frac{1}{x\left(\ln2-\ln3\right)},x>0\\\frac{-1}{-x\left(\ln2-\ln3\right)},x< 0\end{cases}\) \(=\frac{1}{x\left(\ln2-\ln3\right)}\)
Tìm tập xác định P của hàm số \(y=\log\left(1-x+x^2\right)\) ? \(P=\left(-\infty;+\infty\right)\) \(P=\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\) \(P=\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};+\infty\right)\) \(P=\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Điều kiện để hàm logarit có nghĩa là biểu thức dưới dấu logarit dương, hay là: \(1-x+x^2>0\) Tam thức bậc hai \(x^2-x+1\) có \(\Delta=-3< 0\) nên nó luôn dương với mọi x.
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log_{\frac{2}{5}}\left(-x^2+2x+1\right)\) ? \(y'=\frac{\ln5}{\left(1+2x-x^2\right)\ln2}\) \(y'=\frac{2\left(x+1\right)\ln5}{\left(1+2x-x^2\right)\ln2}\) \(y'=\frac{1}{2\left(1-x\right)\left(1+2x-x^2\right)\left(\ln2-\ln5\right)}\) \(y'=\frac{2\left(1-x\right)}{\left(1+2x-x^2\right)\left(\ln2-\ln5\right)}\) Hướng dẫn giải: \(y=\log_{\frac{2}{5}}\left(-x^2+2x+1\right)\) \(y'=\frac{\left(-x^2+2x+1\right)'}{\left(-x^2+2x+1\right).\ln\frac{2}{5}}\) \(=\frac{-2x+2}{\left(-x^2+2x+1\right)\left(\ln2-\ln5\right)}\)
