Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos x-1}{9^{2x}}\) ? \(y'=\frac{\sin x-4\left(\cos x-1\right)\ln3}{3^{4x}}\) \(y'=\frac{\sin x-2\left(\cos x-1\right)\ln3}{3^{4x}}\) \(y'=-\frac{\sin x+4\left(\cos x-1\right)\ln3}{3^{4x}}\) \(y'=-\frac{\sin x+2\left(\cos x-1\right)\ln3}{3^{4x}}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}\), ta có: \(y'=\frac{9^{2x}.\left(\cos x-1\right)'-\left(\cos x-1\right)\left(9^{2x}\right)'}{\left(9^{2x}\right)^2}\) \(=\frac{-9^{2x}\sin x-\left(\cos x-1\right)2.9^{2x}\ln9}{9^{4x}}\) \(=\frac{9^{2x}\left[-\sin x-2\left(\cos x-1\right)\ln9\right]}{9^{4x}}\) \(=-\frac{\sin x+2\left(\cos x-1\right).\ln3^2}{9^{2x}}\) \(=-\frac{\sin x+4\left(\cos x-1\right).\ln3}{3^{4x}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log_{\sqrt{2}}\left(x.3^{2x}+1\right)\) . \(y'=\frac{\left(x\ln81+2\right).3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right)\ln2}\) \(y'=\frac{3^{2x}\ln9+1}{\left(x.3^{2x}+1\right)\ln\sqrt{2}}\) \(y'=\frac{\left(x.\ln3+1\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right)\ln\sqrt{2}}\) \(y'=\frac{3^{2x}+4x^2.3^{2x-1}}{\left(x.3^{2x}+1\right)\ln\sqrt{2}}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng \(\left(\log_au\right)'=\frac{u'}{u.\ln a}\) ta có: \(y'=\frac{\left(x.3^{2x}+1\right)'}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln\sqrt{2}}\) \(=\frac{x.2.3^{2x}\ln3+3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln\sqrt{2}}\) \(=\frac{\left(2x\ln3+1\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2^{\frac{1}{2}}}\) \(=\frac{\left(2x\ln3+1\right)3^{2x}}{\frac{1}{2}\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2}\) \(=\frac{2\left(2x\ln3+1\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2}\) \(=\frac{\left(4x\ln3+2\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2}\) \(=\frac{\left(x\ln3^4+2\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2}\) \(=\frac{\left(x\ln81+2\right)3^{2x}}{\left(x.3^{2x}+1\right).\ln2}\)
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? \(y=\log_{3^{-1}}x\) \(y=x^{\sqrt{3}}\) \(y=\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^x}\) \(y=\log_5x\) Hướng dẫn giải: Đồ thị cắt trục hoành nên nó không phải là hàm \(y=\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^x}\) (vì hàm này không có giá trị nào của x để y=0). Đồ thị cho biết nó là hàm nghịch biến nên ta loại tiếp 2 trường hợp \(y=x^{\sqrt{3}}\) và \(y=\log_5x\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên toàn khoảng xác định của nó? \(y=x^{-{\sqrt2}}\) \(y=x^2\) \(y=\sqrt[5]{x}\) \(y=x^{-\frac{2}{3}}\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến? \(y=2^x\) \(y=(\sqrt7-\sqrt2)^x\) \(y=(\sqrt3+\sqrt2)^x\) \(y=(\sqrt3-\sqrt2)^x\) Hướng dẫn giải: Trong 4 hàm số đã cho, chỉ có hàm số nêu trong phương án D có cơ số nhỏ hơn 1. Vậy D là phương án trả lời đúng.
Cho \(0<\ a< 1\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(a^x>1\) khi \(x<0\). \(0<\ a^x<1\) khi \(x>0\) Nếu \(x_1< x_2\) thì \(a^{x_1}< a^{x_2}\) \(a^{x_1}=a^{x_2}\Leftrightarrow x_1=x_2\) Hướng dẫn giải: Hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2\sqrt5} > \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3\sqrt2}\) \(3^{6\sqrt2}<3^{2\sqrt6}\) \(7^{6\sqrt3}<7^{-3\sqrt6}\) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2\sqrt2} > \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3\sqrt3}\) Hướng dẫn giải: Hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến; hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến,
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\) trên đoạn \([-2;3]\) \(\dfrac{27}{8}\) \(\dfrac{8}{27}\) \(\dfrac{9}{4}\) \(\dfrac{4}{9}\) Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho luôn luôn nghịch biến nên cũng nghịch biến trên đoạn đã cho.
Tìm tập xác định của hàm số \(y=log_\dfrac{1}{3}\left(-2x^2+6x\right)\) . \((-\infty ;0)\cup(3;+\infty)\) \([0;3]\) \((-\infty;0]\cup[3;+\infty)\) \((0;3)\) Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi \(-2x^2+6x>0\) tức là \(0< x<3\)
Hàm số \(y=log_\dfrac{\sqrt3}{3}{(x+3)}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? \((-\infty; +\infty)\) \((-3;+\infty)\) \((-\infty;-3)\) \([-3;+\infty)\)
