Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó? \(y=log_\dfrac{\sqrt5}{3}x \) \(y=log_\sqrt3(x-3)\) \(y=log_\dfrac{\pi}{2}x\) \(y=log_{\sqrt3+\sqrt2}x\) Hướng dẫn giải: Vì \(\sqrt3>1,\dfrac{\pi}{2}>1,\sqrt3+\sqrt2>1\) nen các hàm số trong các phương án trả lời B,C,D đồng biến. Hàm số trong A có cơ số nhỏ hơn 1 nên nghịch biến. Chọn A.
Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s\left(t\right)=s\left(0\right).2^t\), trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? 48 phút 19 phút 7 phút 12 phút Hướng dẫn giải: \(s\left(3\right)=s\left(0\right).2^3=625000\) \(\Rightarrow s\left(0\right)=625000:2^3=\frac{625000}{8}\) Ta cần tim t sao cho: \(s\left(t\right)=\frac{625000}{8}.2^t=10000000\) \(\Leftrightarrow2^t=128\) \(\Leftrightarrow2^t=2^7\) \(\Leftrightarrow t=7\)
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y=a^x,y=b^x,y=c^x\) được cho trong hình vẽ dưới: Mệnh đề nào dưới đây đúng? \(a< b< c\) \(a< c< b\) \(b< c< a\) \(c< a< b\) Hướng dẫn giải: Đồ thì \(y=a^x\) đi xuống nên a < 1; Đồ thị hàm \(y=b^x;y=c^x\) đi lên nên \(b>1,c>1\). Đồ thị hàm số \(y=b^x\) nằm trên đồ thị \(y=c^x\) nên \(b>c\) Vậy ta có: \(b>c>1>a\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\ln\left(1+\sqrt{x+1}\right)\). \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\) \(y'=\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}\) \(y'=\frac{1}{\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\) \(y'=\frac{2}{\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\) ta có: \(y'=\frac{\left(1+\sqrt{x+1}\right)'}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên toàn tập xác định của nó? \(y=2^x\) \(y=\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^x\) \(y=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^x\) \(y=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^x\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=a^x\) luôn đồng biến khi \(a>1\) và luôn nghịch biến khi \(0< a< 1\). Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm \(y=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^x\) là luôn nghịch biến trên miền xác định.
Cho \(0< a< 1\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: \(a^x>1\) khi \(x< 0\). \(0< a^x< 1\) khi \(x>0\). \(x_1< x_2\) thì \(a^{x_1}< a^{x_2}\). \(a^{x_1}=a^{x_2}\Leftrightarrow x_1=x_2\) Hướng dẫn giải: Vì \(0< a< 1\) nên hàm số \(y=a^x\) luôn nghịch biến. Vậy phát biểu " \(x_1< x_2\) thì \(a^{x_1}< a^{x_2}\)" là sai.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2^{\left|x\right|}\) trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2};2\right]\). \(2\) \(\sqrt{2}\) \(1\) \(4\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=2^{\left|x\right|}\) là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. Vẽ đồ thị ứng với \(x\ge0\) rôi lấy đỗi xứng qua trục tung ta được đồ thị như sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2};2\right]\) hàm số nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^x\) trên đoạn \(\left[-2;3\right]\). \(\frac{27}{8}\) \(\frac{8}{27}\) \(\frac{9}{4}\) \(\frac{4}{9}\) Hướng dẫn giải: Vì \(0< \frac{2}{3}< 1\) nên \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^x\) là hàm nghịch biến trên toàn bộ tập số thực. Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[-2;3\right]\) là: \(y\left(-2\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}\)
Khẳng định nào sau đây là đúng? \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\sqrt{5}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{3\sqrt{2}}\) \(3^{6\sqrt{2}}< 3^{2\sqrt{6}}\) \(7^{6\sqrt{3}}< 7^{-3\sqrt{6}}\) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{2}}>\left(\frac{2}{3}\right)^{3\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2\sqrt{5}}< \left(\frac{1}{3}\right)^{3\sqrt{2}}\) \(6\sqrt{2}>2\sqrt{6}\)\(\Rightarrow3^{6\sqrt{2}}>3^{2\sqrt{6}}\) \(6\sqrt{3}>-3\sqrt{6}\)\(\Rightarrow7^{6\sqrt{3}}>7^{-3\sqrt{6}}\) \(2\sqrt{2}< 3\sqrt{3}\)\(\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{2}}>\left(\frac{2}{3}\right)^{3\sqrt{3}}\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\log_{\frac{1}{3}}\left(-2x^2+6x\right)\). \(\left(-\infty;0\right)\cup\left(3;+\infty\right)\) \(\left[0;3\right]\) (\(-\infty;0\)]\(\cup\)[\(3;+\infty\)) \(\left(0;3\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số logarit xác định khi biểu thức dưới dấu logarit dương. \(-2x^2+6x>0\) \(\Leftrightarrow0< x< 3\)
