Tổng hợp lý thuyết và bài tập Hàm số mũ và Hàm số logarit

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
    • \(y=log_\dfrac{\sqrt5}{3}x \)
    • \(y=log_\sqrt3(x-3)\)
    • \(y=log_\dfrac{\pi}{2}x\)
    • \(y=log_{\sqrt3+\sqrt2}x\)
    Hướng dẫn giải:

    Vì \(\sqrt3>1,\dfrac{\pi}{2}>1,\sqrt3+\sqrt2>1\) nen các hàm số trong các phương án trả lời B,C,D đồng biến. Hàm số trong A có cơ số nhỏ hơn 1 nên nghịch biến. Chọn A.
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s\left(t\right)=s\left(0\right).2^t\), trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?
    • 48 phút
    • 19 phút
    • 7 phút
    • 12 phút
    Hướng dẫn giải:

    \(s\left(3\right)=s\left(0\right).2^3=625000\)
    \(\Rightarrow s\left(0\right)=625000:2^3=\frac{625000}{8}\)
    Ta cần tim t sao cho:
    \(s\left(t\right)=\frac{625000}{8}.2^t=10000000\)
    \(\Leftrightarrow2^t=128\)
    \(\Leftrightarrow2^t=2^7\)
    \(\Leftrightarrow t=7\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y=a^x,y=b^x,y=c^x\) được cho trong hình vẽ dưới:
    01.png
    Mệnh đề nào dưới đây đúng?
    • \(a< b< c\)
    • \(a< c< b\)
    • \(b< c< a\)
    • \(c< a< b\)
    Hướng dẫn giải:

    Đồ thì \(y=a^x\) đi xuống nên a < 1;
    Đồ thị hàm \(y=b^x;y=c^x\) đi lên nên \(b>1,c>1\).
    Đồ thị hàm số \(y=b^x\) nằm trên đồ thị \(y=c^x\) nên \(b>c\)
    Vậy ta có: \(b>c>1>a\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính đạo hàm của hàm số \(y=\ln\left(1+\sqrt{x+1}\right)\).
    • \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
    • \(y'=\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}\)
    • \(y'=\frac{1}{\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
    • \(y'=\frac{2}{\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức \(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\) ta có:
    \(y'=\frac{\left(1+\sqrt{x+1}\right)'}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên toàn tập xác định của nó?
    • \(y=2^x\)
    • \(y=\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^x\)
    • \(y=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^x\)
    • \(y=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^x\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số \(y=a^x\) luôn đồng biến khi \(a>1\) và luôn nghịch biến khi \(0< a< 1\).
    Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm \(y=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^x\) là luôn nghịch biến trên miền xác định.
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2^{\left|x\right|}\) trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2};2\right]\).
    • \(2\)
    • \(\sqrt{2}\)
    • \(1\)
    • \(4\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số \(y=2^{\left|x\right|}\) là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. Vẽ đồ thị ứng với \(x\ge0\) rôi lấy đỗi xứng qua trục tung ta được đồ thị như sau:
    01.png
    Nhìn vào đồ thị ta thấy trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2};2\right]\) hàm số nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^x\) trên đoạn \(\left[-2;3\right]\).
    • \(\frac{27}{8}\)
    • \(\frac{8}{27}\)
    • \(\frac{9}{4}\)
    • \(\frac{4}{9}\)
    Hướng dẫn giải:

    Vì \(0< \frac{2}{3}< 1\) nên \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^x\) là hàm nghịch biến trên toàn bộ tập số thực.
    Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[-2;3\right]\) là: \(y\left(-2\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Khẳng định nào sau đây là đúng?
    • \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\sqrt{5}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{3\sqrt{2}}\)
    • \(3^{6\sqrt{2}}< 3^{2\sqrt{6}}\)
    • \(7^{6\sqrt{3}}< 7^{-3\sqrt{6}}\)
    • \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{2}}>\left(\frac{2}{3}\right)^{3\sqrt{3}}\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có:
    \(2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2\sqrt{5}}< \left(\frac{1}{3}\right)^{3\sqrt{2}}\)
    \(6\sqrt{2}>2\sqrt{6}\)\(\Rightarrow3^{6\sqrt{2}}>3^{2\sqrt{6}}\)
    \(6\sqrt{3}>-3\sqrt{6}\)\(\Rightarrow7^{6\sqrt{3}}>7^{-3\sqrt{6}}\)
    \(2\sqrt{2}< 3\sqrt{3}\)\(\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{2}}>\left(\frac{2}{3}\right)^{3\sqrt{3}}\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪