Hàm số \(y=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(x+3\right)\) nghịch biến trên khoảng nào? \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-3;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;-3\right)\) [\(-3;+\infty\)) Hướng dẫn giải: Vì cơ số \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) bé hơn 1 nên hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của hàm logarit. Tập xác định là: \(x+3>0\Leftrightarrow x\in\left(-3;+\infty\right)\)
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó? \(y=\log_{\frac{\sqrt{5}}{3}}x\) \(y=\log_{\sqrt{3}}\left(x-3\right)\) \(y=\log_{\frac{\pi}{2}}x\) \(y=\log_{\sqrt{3}+\sqrt{2}}x\) Hướng dẫn giải: Hàm số logarit nghịch biến trên tập xác định của nó là hàm số có cơ số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Trong các hàm số trên, chỉ có hàm số \(y=\log_{\frac{\sqrt{5}}{3}}x\) có cơ số \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) bé hơn 1.
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{\lg\left(x-2\right)+\lg\left(x+2\right)}\) . \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right)\) [\(\sqrt{5};+\infty\)) (\(-\infty;-\sqrt{5}\)]\(\cup\)[\(\sqrt{5};+\infty\)) Hướng dẫn giải: Để hàm số có nghĩa thì: \(\left\{\begin{matrix}x-2>0\\x+2>0\\\lg\left(x-2\right)+\lg\left(x+2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\x>-2\\\lg\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\x^2-4\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\ge\sqrt{5}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\). Tính \(f'\left(0\right)\). \(2\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(1\) Hướng dẫn giải: Tính đaoh hàm hàm hợp \(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\). \(f'\left(x\right)=\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) Suy ra \(f'\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1\)
Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ? \(y=\left|\ln x\right|\) \(y=\left|\ln\left(x+1\right)\right|\) \(y=\ln\left|x\right|\) \(y=\ln\left|x+1\right|\) Hướng dẫn giải: Hàm số đi qua điểm (1;0) nên chỉ có hàm \(y=\left|\ln x\right|\) và \(\ln\left|x\right|\) thỏa mãn. Đồ thị hàm \(y=\ln\left|x\right|\) đối xưng qua trục tung nên đồ thị trên không phải là của nó. Vậy chỉ còn trường hợp \(y=\left|\ln x\right|\).
Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=3^x\) và \(y=\frac{1}{3}\). \(\left(1;\frac{1}{3}\right)\) \(\left(-1;-\frac{1}{3}\right)\) \(\left(-1;\frac{1}{3}\right)\) \(\left(1;-\frac{1}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: \(3^x=\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow3^x=3^{-1}\) \(\Leftrightarrow x=-1\) Tung độ giao điểm là \(y=\frac{1}{3}\) (vì giao điểm nằm trên đường thẳng này). Vậy giao điểm là: \(\left(-1;\frac{1}{3}\right)\)
Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) và đồ thị hàm số \(y=\frac{4^x}{2}\). \(y=1\) \(y=2\) \(y=4\) \(y=0\) Hướng dẫn giải: Lần lươt thử: th \(y=1\) thì hàm số thứ nhất cho \(x=\frac{1}{2}\), khi \(x=\frac{1}{2}\) thì hàm số thứ hai cho \(y=\frac{4^{\frac{1}{2}}}{2}=1\) trùng với giá trị hàm thứ nhất. Vậy giao điểm là \(\left(\frac{1}{2};1\right)\). Thử với y =2, y= 4, y = 0 không thỏa mãn.
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x\ln x\) . Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\), đó là hình nào? H1. H2. H3. H4. Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=x\ln x\) chỉ xác định khi \(x>0\) nên H4 không phải là đồ thị của hàm số này. \(f\left(1\right)=0\) nên H1 và H3 cũng không phải là đồ thị hàm số đã cho. Đáp số: H2.
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log x\). \(y=\dfrac{1}{x}\). \(y'=\dfrac{\ln10}{x}\). \(y=\dfrac{1}{x\ln10}\). \(y=\dfrac{1}{10\ln x}\). Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \(\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\) và chú ý rằng theo quy ước cách viết ta có \(\log x=\log_{10}x\).
Tính giá trị của biểu thức \(P=\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2017}\left(4\sqrt{3}-7\right)^{2016}\) \(P=1\). \(P=7-4\sqrt{3}\). \(P=7+4\sqrt{3}\). \(P=\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2016}\). Hướng dẫn giải: Đặt \(a=7+4\sqrt{3},b=4\sqrt{3}-7\) thì \(ab=\left(4\sqrt{3}\right)^2-7^2=-1\) và \(P=a^{2017}b^{2016}=\left(ab\right)^{2016}a=\left(-1\right)^{2016}a=a=7+4\sqrt{3}\)