Tổng hợp lý thuyết và bài tập Hàm số mũ và Hàm số logarit

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hàm số \(y=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(x+3\right)\) nghịch biến trên khoảng nào?
    • \(\left(-\infty;+\infty\right)\)
    • \(\left(-3;+\infty\right)\)
    • \(\left(-\infty;-3\right)\)
    • [\(-3;+\infty\))
    Hướng dẫn giải:

    Vì cơ số \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) bé hơn 1 nên hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của hàm logarit. Tập xác định là:
    \(x+3>0\Leftrightarrow x\in\left(-3;+\infty\right)\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
    • \(y=\log_{\frac{\sqrt{5}}{3}}x\)
    • \(y=\log_{\sqrt{3}}\left(x-3\right)\)
    • \(y=\log_{\frac{\pi}{2}}x\)
    • \(y=\log_{\sqrt{3}+\sqrt{2}}x\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số logarit nghịch biến trên tập xác định của nó là hàm số có cơ số lớn hơn 0 và bé hơn 1.
    Trong các hàm số trên, chỉ có hàm số \(y=\log_{\frac{\sqrt{5}}{3}}x\) có cơ số \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) bé hơn 1.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{\lg\left(x-2\right)+\lg\left(x+2\right)}\) .
    • \(\left(-\infty;+\infty\right)\)
    • \(\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right)\)
    • [\(\sqrt{5};+\infty\))
    • (\(-\infty;-\sqrt{5}\)]\(\cup\)[\(\sqrt{5};+\infty\))
    Hướng dẫn giải:

    Để hàm số có nghĩa thì:
    \(\left\{\begin{matrix}x-2>0\\x+2>0\\\lg\left(x-2\right)+\lg\left(x+2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\x>-2\\\lg\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]\ge0\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge1\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x>2\\x^2-4\ge1\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow x\ge\sqrt{5}\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\). Tính \(f'\left(0\right)\).
    • \(2\)
    • \(\frac{1}{2}\)
    • \(0\)
    • \(1\)
    Hướng dẫn giải:

    Tính đaoh hàm hàm hợp \(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\).
    \(f'\left(x\right)=\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
    Suy ra \(f'\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?
    01.png
    • \(y=\left|\ln x\right|\)
    • \(y=\left|\ln\left(x+1\right)\right|\)
    • \(y=\ln\left|x\right|\)
    • \(y=\ln\left|x+1\right|\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số đi qua điểm (1;0) nên chỉ có hàm \(y=\left|\ln x\right|\) và \(\ln\left|x\right|\) thỏa mãn.
    Đồ thị hàm \(y=\ln\left|x\right|\) đối xưng qua trục tung nên đồ thị trên không phải là của nó.
    Vậy chỉ còn trường hợp \(y=\left|\ln x\right|\).
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=3^x\) và \(y=\frac{1}{3}\).
    • \(\left(1;\frac{1}{3}\right)\)
    • \(\left(-1;-\frac{1}{3}\right)\)
    • \(\left(-1;\frac{1}{3}\right)\)
    • \(\left(1;-\frac{1}{3}\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
    \(3^x=\frac{1}{3}\)
    \(\Leftrightarrow3^x=3^{-1}\)
    \(\Leftrightarrow x=-1\)
    Tung độ giao điểm là \(y=\frac{1}{3}\) (vì giao điểm nằm trên đường thẳng này).
    Vậy giao điểm là: \(\left(-1;\frac{1}{3}\right)\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) và đồ thị hàm số \(y=\frac{4^x}{2}\).
    • \(y=1\)
    • \(y=2\)
    • \(y=4\)
    • \(y=0\)
    Hướng dẫn giải:

    Lần lươt thử: th
    \(y=1\) thì hàm số thứ nhất cho \(x=\frac{1}{2}\), khi \(x=\frac{1}{2}\) thì hàm số thứ hai cho \(y=\frac{4^{\frac{1}{2}}}{2}=1\) trùng với giá trị hàm thứ nhất. Vậy giao điểm là \(\left(\frac{1}{2};1\right)\).
    Thử với y =2, y= 4, y = 0 không thỏa mãn.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(f\left(x\right)=x\ln x\) . Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\), đó là hình nào?
    01.jpg
    1. H1.
    2. H2.
    3. H3.
    4. H4.
    Hướng dẫn giải:

    \(f\left(x\right)=x\ln x\) chỉ xác định khi \(x>0\) nên H4 không phải là đồ thị của hàm số này.
    \(f\left(1\right)=0\) nên H1 và H3 cũng không phải là đồ thị hàm số đã cho.
    Đáp số: H2.
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪