Cho hàm số \(y=\dfrac{\ln x}{x}\), mệnh đề nào dưới đây đúng? \(2y'+xy"=-\dfrac{1}{x^2}\). \(y'+xy"=\dfrac{1}{x^2}\). \(y'+xy"=-\dfrac{1}{x^2}\). \(2y'+xy"=\dfrac{1}{x^2}\). Hướng dẫn giải: \(y'=\dfrac{\dfrac{1}{x}.x-\ln x.1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\Rightarrow y"=\dfrac{-\dfrac{1}{x}.x^2-2x.\left(1-\ln x\right)}{x^4}=\dfrac{-3+2\ln x}{x^3}\) Do đó: \(y'=\dfrac{1-\ln x}{x^2},xy"=\dfrac{-3+2\ln x}{x^2}\) Để khử \(\ln x\) ta có thể xét \(2y'+xy"\). Kết luận \(2y'+xy"=-\dfrac{1}{x^2}\).
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\log_5\dfrac{x-3}{x+2}\). \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}\) \(D=\left(-\infty;-2\right)\cup[3;+\infty)\) \(D=\left(-2;3\right)\) \(D=\left(-\infty;-2\right)\cup\left(3;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng biểu thức \(\log_5f\left(x\right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(f\left(x\right)>0\). Vì vậy tập xác định của hàm số đã cho là tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{x-3}{x+2}>0\). Giải bất phương trình này ta được \(D=\left(-\infty;-2\right)\cup\left(3;+\infty\right)\).
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x + 3}}} \right).\) \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) \(D = \left( { - \infty ;2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\) \(D = \left( {1;3} \right)\) \(D = \left( {2 - \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {3;2 + \sqrt 2 } \right)\) Hướng dẫn giải: \(\begin{array}{l} {x^2} - 4x + 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1}\\ {x > 3} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow TX{\rm{D = ( - }}\infty {\rm{;1)}} \cup {\rm{(3; + }}\infty {\rm{)}} \end{array} \)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\). \(y' = \frac{2}{{2x + 1}} \) \(y' = \frac{1}{{2x + 1}}\) \(y' = \frac{2}{{(2x + 1)\ln 2}}\) \(y' = \frac{1}{{(2x + 1)\ln 2}}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\left(\log_af\left(x\right)\right)'=\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)\ln a}\).
Phương trình \(2^{2x+1}=32\) có nghiệm là: \(x=\dfrac{3}{2}\) \(x=2\) \(x=3\) \(x=\dfrac{5}{2}\) Hướng dẫn giải: \(2^{2x+1}=32\) \(\Leftrightarrow2x+1=5\) \(\Leftrightarrow x=2\)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá tị nguyên của tham số m sao cho phương trình \(16^x-m.4^{x+1}+5m^2-45=0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? 4 6 13 3 Hướng dẫn giải: \(16^x-m.4^{x+1}+5m^2-45=0\) (*) Đặt \(a=4^x\left(a>0\right)\), ta có phương trình: \(a^2-4ma+5m^2-45=0\) \(\Delta'=\left(2m\right)^2-\left(5m^2-54\right)=45-m^2\) (**) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2< 45\\4m>0\\5m^2-45>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\9< m^2< 45\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\left\{4;5;6\right\}\) Vậy S có 3 phần tử.
