Tính \(\log_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^{10}}\left(a>0,a\ne1\right)\). \(-1\) \(10\) \(-\frac{10}{3}\) \(\frac{10}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\log_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^{10}}=\log_{a^{-1}}a^{\frac{10}{3}}=\frac{10}{3}.\frac{1}{\left(-1\right)}\log_aa=-\frac{10}{3}\)
Tính \(\log_a\left(\frac{a^2.\sqrt[3]{a^2}.\sqrt[5]{a^2}}{\sqrt[7]{a^{12}}}\right)\). \(\frac{149}{60}\) \(\frac{46}{15}\) \(\frac{142}{105}\) \(\frac{8}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\log_a\left(\frac{a^2.\sqrt[3]{a^2}.\sqrt[5]{a^2}}{\sqrt[7]{a^{12}}}\right)=\log_a\left(\frac{a^2.a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{2}{5}}}{a^{\frac{12}{7}}}\right)=\log_aa^{2+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\frac{12}{7}}\) \(=\log_aa^{\frac{142}{105}}=\frac{142}{105}\)
Cho \(a=\log_25\). Tính \(\log_41250\) theo \(a\). \(2\left(1+4a\right)\) \(\frac{1+4a}{2}\) \(\frac{1-4a}{2}\) \(2\left(1-4a\right)\) Hướng dẫn giải: \(\log_41250=\log_{2^2}\left(2.5^4\right)=\frac{1}{2}\log_2\left(2.5^4\right)\) \(=\frac{1}{2}\left[\log_22+4\log_25\right]=\frac{1}{2}\left(1+4a\right)\)
Cho \(a=\ln2\). Hãy biểu diễn \(\frac{1}{16}\ln\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\ln\frac{1}{16}\) theo \(a\). \(-\frac{5a}{16}\) \(\frac{11a}{16}\) \(\frac{a}{8}\) \(\frac{5a}{16}\) Hướng dẫn giải: \(\frac{1}{16}\ln\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\ln\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\ln2^{-3}-\frac{1}{8}\ln2^{-4}=\frac{-3}{16}a-\frac{-4}{8}a=\frac{5a}{16}\)
Tính: \(\log_27.\log_{125}8.\log_75\). \(\frac{1}{3}\) \(-3\) \(3\) \(1\) Hướng dẫn giải: \(\log_27.\log_{125}8.\log_75=\log_27.\log_{5^3}2^3.\log_75=\log_27.\left(\frac{3}{3}\log_52\right).\log_75\) \(=\log_27.\log_75.\log_52=1\)
Tính: \(9^{\log_{\sqrt{3}}2}\) . 8 16 2 4 Hướng dẫn giải: \(9^{\log_{\sqrt{3}}2}=\left(3^2\right)^{\log_{3^{\frac{1}{2}}}2}=3^{2.\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_32}=3^{4\log_32}\) \(=3^{\log_32^4}=2^4=16\)
Cho \(a=\log_25;b=\log_23\). Tính giá trị biểu thức \(P=\log_3675\) theo \(a\) và \(b\). \(P=\frac{2a}{b}+3\) \(P=\frac{2a}{b}\) \(P=\frac{a}{b}+3\) \(P=\frac{2a}{b}+1\) Hướng dẫn giải: \(P=\log_3675=\log_3\left(5^2.3^3\right)=2\log_35+3\log_33\) \(=2\log_35+3=2.\frac{\log_25}{\log_23}+3=\frac{2a}{b}+3\)
Cho a là số thực dương khác 1 và \(P=\log_{\sqrt[3]{a}}a^3\). Khẳng định nào dưới đây đúng? \(P=1\). \(P=3\). \(P=9\). \(P=\dfrac{1}{3}\). Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đổi cơ số \(\log_{a^{\alpha}}b^{\beta}=\dfrac{\beta}{\alpha}\log_ab\) và tính chất cơ bản của loga \(\log_aa=1\) ta có \(P=\log_{\sqrt[3]{a}}a^3=\log_{a^{\dfrac{1}{3}}}a^3=\dfrac{3}{\dfrac{1}{3}}\log_aa=9\)
Cho a, b là những số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a\ne1,a\ne\sqrt{b}\) và \(\log_ab=\sqrt{3}\). Tính \(P=\log_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\). \(-5+3\sqrt{3}\). \(-1+\sqrt{3}\). \(-1-\sqrt{3}\). \(-5-3\sqrt{3}\). Hướng dẫn giải: Đổi về cơ số a: \(P=\dfrac{\log_a\sqrt{\dfrac{b}{a}}}{\log_a\dfrac{\sqrt{b}}{a}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\log_a\dfrac{b}{a}}{\log_a\sqrt{b}-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(\log_ab-1\right)}{\dfrac{1}{2}\log_ab-1}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{-1}\) \(=-\left(3-2+\sqrt{3}\right)=-1-\sqrt{3}\).
Cho a là số thực dương khác 1. Tính \(I=\log_{\sqrt{a}}a\). \(I=\dfrac{1}{2}\) \(I=0\) \(I=-2\) \(I=2\) Hướng dẫn giải: Có \(a=\left(\sqrt{a}\right)^2\) nên \(I=\log_{\sqrt{a}}\left(\sqrt{a}\right)^2=2\). Đáp số: 2
