Với a, b là những số dương và a khác 1, đặt \(P=\log_ab^3+\log_{a^2}b^6\). Mệnh đề nào sau đây đúng? \(9\log_ab\) \(27\log_ab\) \(15\log_ab\) \(6\log_ab\) Hướng dẫn giải: Sử dụng hệ quả của công thức đổi cơ số \(\log_{a^{\alpha}}b^{\beta}=\dfrac{\beta}{\alpha}\log_ab\) ta có \(\log_ab^3=3\log_ab;\log_{a^2}b^6=\dfrac{6}{2}\log_ab=3\log_ab\) Do đó \(P=6\log_ab\).
Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? \( {\log _2}a = \frac{1}{{{{\log }_2}a}}\) \({\log _2}a = - {\log _a}2\) \({\log _2}a = {\log _a}2\) \({\log _2}a = \frac{1}{{{{\log }_a}2}}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đổi cơ số (đổi về cơ số a) ta có \(\log_2a=\dfrac{\log_aa}{\log_a2}=\dfrac{1}{\log_a2}\).
Với mọi a, b, x là các số dương thỏa mãn \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\) , mệnh đề nào dưới đây đúng ? \( x = {a^5}{b^3}\) \( x=5a+3b\) \(x=3a+5b \) \(x={a^5} + {b^3}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \( \begin{array}{l} {\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3}\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}\left( {{a^5}{b^3}} \right)\\ \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3} \end{array} \)
Với các số thực dương ?, ? tùy ý, đặt \({\log _3}x = \alpha ,{\log _3}y = \beta \). Mệnh đề nào dưới đây đúng? \({\log _{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{\alpha }{2} - \beta \) \({\log _{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{\alpha }{2} + \beta \) \({\log _{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = 9\left( {\frac{\alpha }{2} - \beta } \right)\) \({\log _{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = 9\left( {\frac{\alpha }{2} + \beta } \right)\) Hướng dẫn giải: Cách 1: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = {\log _{{3^3}}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = {\log _3}\frac{{\sqrt x }}{y} = {\log _3}\sqrt x - {\log _3}y = \frac{\alpha }{2} - \beta \) Cách 2: Chọn \(x=3; y=9\) \( \Rightarrow \alpha = 1;{\rm{ }}\beta {\rm{ = - 1 ; lo}}{{\rm{g}}_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = - \frac{3}{2}\) mà: \(\frac{\alpha }{2} - \beta = \frac{{ - 3}}{2}\) nên chọn: \({\log _{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{\alpha }{2} - \beta \)
Cho a là một số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y ? \({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}} \) \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right) \) \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y \) \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y \) Hướng dẫn giải: Xem lại tính chất của lô ga rit. \({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}} \) và \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right) \)sai khi \(x=y=1\); \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y \) sai khi \(x=a^2,y=a\). Vậy chỉ có \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y \) đúng với mọi \(x>0,y>0\).
Cho \({\log _a}b = 2;{\log _a}c = 3 \). Tính \(P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) \). Hướng dẫn giải: \(P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 13\) \(P=108\) \(P=13\) \(P=31\) \(P=30\)
Cho \(x,y\) là hai số thực lớn hơn 1 thoả mãn \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\) . Tính \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\). \(M = \frac{1}{2} \) \(M = \frac{1}{3}\) \(M=\dfrac{1}{4}\) \(M=1\) Hướng dẫn giải: Chojn \(x=1\) suy ra \(y=\dfrac{1}{3}\). Thay vào biểu thức M suy ra \(M=1\).
Xét các số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=a+2b\). \(P_{min}=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}\) \(P_{min}=\dfrac{2\sqrt{10}-5}{2}\) \(P_{min}=\dfrac{3\sqrt{10}-2}{7}\) \(P_{min}=\dfrac{2\sqrt{10}-1}{2}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(ab< 1\). Ta có \({\log _2}\frac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right) = 2ab + a + b + 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) + 3 - 2ab = {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) + 1 + 2 - 2ab = {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) + 2 - 2ab = {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b \end{array} \) \(\Leftrightarrow f\left(2-2ab\right)=f\left(a+b\right)\) , trong đó \(f\left(t\right)=t+\log_2t\). Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\ln 2.t}} + 1 > 0,\forall t > 0\)suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Từ đó \(2-2ab=a+b\) do đó \(a=\dfrac{2-b}{2b+1},b>0\), vì vậy \(P=a+2b=\dfrac{2-b}{2b+1}+b\). Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số \(g\left(b\right)=\dfrac{2-b}{2b+1}+b\) với \(b\in\left(0;+\infty\right)\) suy ra \(P_{min}=min_{b>0}g\left(b\right)=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}\)
Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng? \(\log\left(3a\right)=3\log a\) \(\log a^3=\dfrac{1}{3}\log a\) \(\log a^3=3\log a\) \(\log\left(3a\right)=\dfrac{1}{3}\log a\)
Với a là số thực dương tùy ý, \(\ln\left(5a\right)-\ln\left(3a\right)\) bằng: \(\dfrac{\ln5}{\ln3}\) \(\dfrac{\ln\left(5a\right)}{\ln\left(3a\right)}\) \(\ln\left(2a\right)\) \(\ln\dfrac{5}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\ln\left(5a\right)-\ln\left(3a\right)=\ln\dfrac{5a}{3a}\) Do a là số thực dương nên \(\ln\dfrac{5a}{3a}=\ln\dfrac{5}{3}.\)
