Cho a là một số dương. Viết biểu thức \(P=a^{\frac{3}{5}}\sqrt[3]{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. \(P=a^{\frac{1}{5}}\) \(P=a^{\frac{14}{15}}\) \(P=a^{\frac{14}{5}}\) \(P=a^{\frac{1}{3}}\) Hướng dẫn giải: \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\) . Do đó \(P=a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{5}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{14}{15}}\)
Viết biểu thức \(P=\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x^5}\) (\(x>0\)) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. \(P=x^{\frac{11}{5}}\) \(P=x^{\frac{4}{3}}\) \(P=x^{\frac{5}{3}}\) \(P=x^{\frac{7}{6}}\) Hướng dẫn giải: Viết các căn thức đã cho dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ rồi sử dụng tính chất tích hai lũy thừa cùng cơ số. Có \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) , \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\) , \(\sqrt[6]{x^5}=x^{\frac{5}{6}}\) , \(P=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}=x^{\frac{10}{6}}=x^{\frac{5}{3}}\)
Rút gọn biểu thức \(P=x^{-2\sqrt{3}}\left(\frac{1}{x^{-\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1}\) \(\left(x>0\right)\) \(x^{2+\sqrt{3}}\) \(x^{-2-\sqrt{3}}\) \(x^4\) \(x\) Hướng dẫn giải: Sử dụng các tính chất của lũy thừa ta có \(\left(\frac{1}{x^{-\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1}\) \(=\left(x^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}+1}=x^{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=x^{4+2\sqrt{3}}\) . Vì vậy \(P=x^{-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}}=x^4\)
Rút gọn biểu thức \(P=\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)^2\left(1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\right)^{-1}\) ,\(\left(x,y>0\right)\) \(P=x\) \(P=\frac{1}{x^2}\) \(P=-x\) \(P=\sqrt{x}\) Hướng dẫn giải: Có \(\left(1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\right)=\left(1-\sqrt{\frac{y}{x}}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\right)^2=\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)^2}{x}\) . Do đó \(P=x\)
Rút gọn biểu thức \(P=\frac{\left(x^{2\sqrt{2}}-1\right)\left(x^{3\sqrt{2}}-x^{2\sqrt{2}}+x^{\sqrt{2}}\right)}{x^{4\sqrt{2}}+x^{\sqrt{2}}}\) , \(\left(x>0\right)\) . \(P=x^{\sqrt{2}}\) \(P=x^{\sqrt{2}}-1\) \(P=x^{\sqrt{2}}+1\) \(P=x^{2\sqrt{2}}-1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=x^{\sqrt{2}}\) thì \(\left(x^{2\sqrt{2}}-1\right)=t^2-1=\left(t-1\right)\left(t+1\right)\) , \(\left(x^{3\sqrt{2}}-x^{2\sqrt{2}}+x^{\sqrt{2}}\right)=t^3-t^2+t=t\left(t^2-t+1\right)\) và \(x^{4\sqrt{2}}+x^{\sqrt{2}}=t^4+t=t\left(t^3+1\right)\) . Từ đó \(P=t-1=x^{\sqrt{2}}-1\)
Cho a là một số dương, viết biểu thức \(P=a^{\frac{3}{5}}\sqrt[3]{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. \(P=a^{\frac{1}{5}}\) \(P=a^{\frac{14}{15}}\) \(P=a^{\frac{14}{5}}\) \(P=a^{\frac{1}{3}}\) Hướng dẫn giải: \(P=a^{\frac{3}{5}}\sqrt[3]{a}=a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{5}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{14}{15}}\)
Cho a là một số dương, viết biểu thức \(P=a^{\frac{2}{3}}:\sqrt[5]{a^2}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. \(P=a^{\frac{7}{15}}\) \(P=a^{\frac{16}{15}}\) \(P=a^{\frac{4}{15}}\) \(P=a^{\frac{13}{15}}\) Hướng dẫn giải: \(P=a^{\frac{2}{3}}:\sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}:a^{\frac{2}{5}}=a^{\frac{2}{3}-\frac{2}{5}}=a^{\frac{4}{15}}\)
Viết biểu thức \(P=\sqrt{x}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x^5}\left(x>0\right)\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. \(P=x^{\frac{11}{5}}\) \(P=x^{\frac{4}{3}}\) \(P=x^{\frac{5}{3}}\) \(P=x^{\frac{7}{6}}\) Hướng dẫn giải: \(P=\sqrt{x}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x^5}=x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{5}{6}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}\) \(=x^{\frac{10}{6}}=x^{\frac{5}{3}}\)
Rút gọn biểu thức \(Q=a^{-2\sqrt{3}}.\left(\frac{1}{a^{-\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1}\). \(Q=a^{4+4\sqrt{3}}\) \(Q=a^{2\sqrt{3}}\) \(Q=a^{4+2\sqrt{3}}\) \(Q=a^4\) Hướng dẫn giải: \(Q=a^{-2\sqrt{3}}.\left(\frac{1}{a^{-\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1}=a^{-2\sqrt{3}}.a^{\left(\sqrt{3}+1\right).\left(\sqrt{3}+1\right)}\) \(=a^{-2\sqrt{3}}.a^{4+2\sqrt{3}}=a^{-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}}=a^4\)
Cho a > 0, đơn giản biểu thức \(Q=\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)}\). \(Q=\frac{1}{a+1}\) \(Q=\frac{1}{a}\) \(Q=a+1\) \(Q=a\) Hướng dẫn giải: \(Q=\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)}=\frac{a^{\frac{4}{3}}.a^{\frac{2}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}+1\right)}{a^{\frac{1}{4}}.a^{-\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}+1\right)}\) \(=\frac{a^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}\left(a^{-1}+1\right)}{a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}\left(a+1\right)}=\frac{a^2\left(\frac{1}{a}+1\right)}{a^0\left(a+1\right)}=\frac{a\left(1+a\right)}{a+1}=a\)
