Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=x^3+mx^2+mx\) có đúng một điểm cực trị duy nhất. \(m=1\) \(m=2\) \(m=0\) Không tồn tại m thỏa mãn điều kiện của đề bài Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2+2mx+m\) Tam thức bậc hai y' có các khả năng sau: - Không có nghiệm => hàm số y không có cực trị - Có nghiệm kép => y' không đổi dấu khi đi qua điểm này nên y không có cực trị (y có điểm uốn) - Có 2 nghiệm phân biết => y có 2 điểm cực trị Vậy trong tất cả các trường hợp, không có trường hợp nào y có duy nhất 1 điểm cực trị.
Tìm các bộ ba số (a; b; c) để hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+c\) đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right),\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) và có đồ thị đi qua điểm \(\left(0;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-1;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-3;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-3;1\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số đi qua điểm (0;1) nên ta có: \(1=0^3+a.0^2+b.0+c\Rightarrow c=1\) Khi đó: \(y=x^3+ax^2+bx+1\) \(y'=3x^2+2ax+b\) Để hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right),\left(1;+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\) thì \(y'\) có hai nghiệm là \(-1\) và \(1\). Suy ra: \(\left\{\begin{matrix}3\left(-1\right)^2+2a.\left(-1\right)+b=0\\3.1^2+2a.1+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-2a+b=-3\\2a+b=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\\b=-3\end{matrix}\right.\) Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-3;1\right)\)
Cho hàm số \(y=\frac{-x+3}{x+1}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trên tập \(\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\) Hàm số nghịch biến với mọi \(x\ne-1\) Hướng dẫn giải: \(y'=\frac{-4}{\left(x+1\right)^2}< 0,\forall x\ne-1\) Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Chú ý: không thể nói hàm số đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\) được vì đường x = -1 là tiệm cận đứng, lấy 1 điểm \(x_1\) thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\) và điểm \(x_2\) thuộc \(\left(-1;+\infty\right)\) thì \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)
Cho hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình như sau: \(\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\) \(\left(C_2\right):\left(x+1\right)^2+y^2=1\) Tìm các bộ ba hằng số (a; b; c) để đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{x+c}\) đi qua các tâm của (C1), (C2), mỗi đường tiệm cận của đồ thị tiếp đều tiếp xúc với (C1), (C2). \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3;2\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;-2;3\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\) Hướng dẫn giải: Tâm và bán kính của (C1) là: \(I_1\left(1;2\right),r_1=1\). Tâm và bán kính của (C2) là: \(I_2\left(-1;0\right),r_2=1\). Để đồ thị hàm số đi qua \(I_1,I_2\) thì: \(\left\{\begin{matrix}2=\frac{a.1+b}{1+c}\\0=\frac{a.\left(-1\right)+b}{-1+c}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2\left(1+c\right)\\a=b\end{matrix}\right.\) (*) Viết lại hàm số như sau để tìm các đường tiệm cận: \(y=\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a\left(x+c\right)+b-ac}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}\) Đồ thị có tiệm cận ngang là y = a và tiệm cận đứng là x = c. Dễ nhận thấy đường thẳng đứng \(x=0\) là tiếp tuyến chung duy nhất của hai đường tròn (xem hình dưới), suy ra c=0. Thay c=0 vào (*) ta có: \(\left\{\begin{matrix}a+b=2\\a=b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=1\) Thử lại, với \(a=b=1,c=0\) đồ thị có 2 tiệm cận là \(y=1,x=0\) và cả hai tiệm cận đều tiếp xúc với hai đường tròn.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-3x+1-m\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. \(\forall m\in\mathbb{R}\) \(m< -1;m>3\) \(m\in\left\{-1;3\right\}\) \(-1< m< 3\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)\) \(y'\) có hai nghiệm là \(x_1=1,x_2=-1\) nên y có hai giá trị cực đại và cực tiểu. Giá trị của y tại các điểm cực đại và cực tiểu là: \(y\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-3.\left(-1\right)+1-m=3-m\) \(y\left(1\right)=1^3-3.1+1-m=-1-m\) Để hai giá trị này trái dấu thì: \(\left(3-m\right)\left(-1-m\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\left(3-m\right)\left(1+m\right)>0\) \(-1< m< 3\)
Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-20000017\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=+\infty\). Gốc tọa độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y=-20000017\). Hướng dẫn giải: - Hàm đa thức \(y=x^4-2x^2-20000017\) có đơn thức bậc cao nhất là \(x^4\), khi \(x\rightarrow\pm\infty\) thì : \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-2x^2-20000017\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^4=+\infty\) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-2x^2-20000017\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^4=+\infty\) - Hàm số y là hàm chẵn, \(y\left(x\right)=y\left(-x\right)\) nên đồ thị đối xứng nha qua trục tung (không phải đối xứng nhau qua gốc tọa độ) - Nếu đặt \(t=x^2\) thì \(y=t^2-2t-20000017\) có 2 nghiệm \(t_1,t_2\) trái dấu, trong đó chỉ có nghiệm dương cho ta 2 nghiệm tương ứng của x. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm. - Đồ thị căt trục tung tại điểm có tung độ \(y\left(0\right)=0^4-2.0^2-20000017=-20000017\)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3mx+2=0\) có nghiệm duy nhất. \(m=1\) \(m\le0\) \(0< m< 1\) \(m< 1\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(x=0\) không phải là nghiệm nên biến đổi phương trình về dạng: \(\Leftrightarrow\frac{x^3+2}{3x}=m\) Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{3x}\) ta lập bảng biến thiên của f(x). \(f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{x^3-1}{x^2}\) Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^3+2}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2}{3x}\right)=+\infty\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{x^3+2}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3x}\right)=-\infty\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{x^3+2}{3x}=+\infty\) Vậy ta có bảng biến thiên sau: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm duy nhất khi \(m< 1\).
Tìm a, b, c để đồ thị hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\) có \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại và \(B\left(-1;-5\right)\) là một điểm cực tiểu. \(a=2,b=-4,c=-3\) \(a=-3,b=-1,c=-5\) \(a=-2,b=4,c=-3\) \(a=2,b=4,c=-3\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Mẹo: Đồ thị đi qua \(A\left(0;-3\right)\) nên suy ra: \(-3=a.0^4+b.0^2+c\Rightarrow c=-3\). Đồ thị đi qua \(B\left(-1;-5\right)\) nên suy ra: \(-5=a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c\Rightarrow a+b+c=-5\). Chỉ có đáp án \(a=2,b=-4,c=-3\) thỏa mãn 2 điều kiện trên. Cách 2: Giải đầy đủ Nếu a = 0 thì hàm số là bậc hai nên chỉ có 1 điểm cực đại hoặc 1 điểm cực tiểu, không thỏa mãn. Vậy \(a\ne0\), ta có: \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\) Để y có cực đại và cực tiểu thì phương trình \(2ax^2+b=0\) có 2 nghiệm khác 0, suy ra \(2x^2=-\frac{b}{a}\) có nghiệm khác 0, suy ra a và b đều khac 0 và trái dấu nhau. Khi đó \(y'\) có 2 nghiệm trái dấu nhau ngoài 1 nghiệm là 0. Ba nghiệm của \(y'\) là: \(x_1=-\sqrt{-\frac{b}{2a}};0;x_2=\sqrt{-\frac{b}{2a}}\) Khi đó bảng biến thiên thuộc 2 dạng: - Với a > 0: - Với a <0 : Theo bài ra \(A\left(0;-3\right)\) là điểm cực đại nên hệ số a > 0 . Suy ra hàm số nhận giá trị bằng -3 khi x = 0 => \(a.0^3+b.0^2+c=-3\Rightarrow c=-3\). \(B\left(-1;-5\right)\) là một điểm cực tiểu suy ra: \(\left\{\begin{matrix}-\sqrt{-\frac{b}{2a}}=-1\\a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2+c=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\a+b-3=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\end{matrix}\right.\) Vậy ta có: \(a=2,b=-4,c=-3\)
Tìm tập hợp các điểm cực trị của hàm số \(y=x^2-2\left|x\right|\). \(\left\{-1;0;1\right\}\) \(\left\{0;1\right\}\) \(\left\{0\right\}\) \(\left\{-1;1\right\}\) Hướng dẫn giải: Vì hàm chẵn nên chỉ cần xét \(x\ge0\) rồi suy ra trường hợp \(x\le0\). Với \(x\ge0\) thì \(y=x^2-2x\) là Parabol có đỉnh có hoành độ \(x_Đ=1>0\) là điểm cực trị. Vậy với \(x\le0\) thì hàm số có thêm điểm cực trị đối xứng. Thêm nữa đò thị cắt trục tung tại điểm (0;0) và là điểm cực trị thứ ba của hàm số (xem đồ thị).
Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2\sqrt{x^2-1}+1}{x}\). \(y=2\) \(y=+\infty\) \(y=-2\) \(y=2\) và \(y=-2\) Hướng dẫn giải: Chỉ việc tính các giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\). \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\sqrt{x^2-1}+1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)=2\) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2\sqrt{x^2-1}+1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(-2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(-2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)=-2\) (chú ý đưa vào dấu căn khi x âm: \(\frac{\sqrt{A}}{x}=-\sqrt{\frac{A}{x^2}},x< 0\))
