Đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+1}{x^2-4\left|x\right|-5}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng? 0 4 2 1 Hướng dẫn giải: Để tìm tiệm cận đứng ta tìm nghiệm của mẫu số: \(x^2-4\left|x\right|-5=0\) Đặt \(t=\left|x\right|\) (điều kiện \(t\ge0\)) ta có: \(t^2-4t-5=0\Leftrightarrow t_1=-1\left(loại\right);t_2=5\) Suy ra \(x=\sqrt{5};x=-\sqrt{5}\). Dễ dàng kiểm tra với 2 giá trị này thì tử số khác 0, vậy: \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\sqrt{5}}y=\infty\) Vậy đồ thi hàm số có 2 tiệm cận đứng.
Tìm tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+x-2}{x^2-2x+m}\) có hai đường tiệm cận đứng phân biệt. \(\left(-\infty;1\right)\) \(\left(-\infty;-8\right)\cup\left(-8;1\right)\) \(\left(-\infty;-1\right)\) \(\left(-8;1\right)\) Hướng dẫn giải: Ta biến đổi: \(y=\frac{x^2+x-2}{x^2-2x+m}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x^2-2x+m}\) Để đồ thị hàm số trên có 2 tiệm cận đứng phân biệt thì mẫu thức có 2 nghiệm phân biệt và đều khác 1 và -2 để mẫu số không phân tích thành các thừa số (x -1) hoặc (x + 2). Vậy điệu kiện là: \(\left\{\begin{matrix}\Delta'=1-m>0\\1^2-2.1+m\ne0\\\left(-2\right)^2-2.\left(-2\right)+m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m< 1\\m\ne1\\m\ne-8\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}m< 1\\m\ne-8\end{matrix}\right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-2017\) có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \(\left(-5;5\right)\). \(-3< m\) \(m< 7\) \(-3< m< 7\) \(-3< m< 3;3< m< 7\) Hướng dẫn giải: \(y'=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right)\) \(=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+m-2\right]\) Để y có hai điểm cực trị trong \(\left(-5;5\right)\) thì \(y'\) có hai nghiệm và 2 nghiệm đều trong khoảng (-5;5). Vì \(y'\) là tam thức bậc hai nên điều kiện là: \(\left\{\begin{matrix}f\left(5\right)>0\\f\left(-5\right)>0\\f\left(-\frac{b}{2a}\right)< 0\\-5< -\frac{b}{2a}< 5\end{matrix}\right.\) với \(f\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m-2\) và \(-\frac{b}{2a}=-\frac{m-1}{2}\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6m+18>0\\-4m+28>0\\\frac{-m^2+6m-9}{4}< 0\\-5< -\frac{\left(m-1\right)}{2}< 5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m>-3\\m< 7\\m\ne3\\-9< m< 11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-3< m< 7\\m\ne3\end{matrix}\right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2+m\) cắt trục hoành tại đúng hai điểm. \(m< 0\) \(m\le0\) \(m< 1\) \(m\ge1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=x^2\) thì với mỗi \(t>0\) có đúng 2 giá trị của \(x\). Vậy để phương trình \(x^4-2x^2+m=0\) có đúng 2 nghiệm thì phương trình \(t^2-2t+m=0\) (*) có đúng 1 nghiệm dương. Dễ thấy với m = 0 thì phương trình có nghiệm \(t_1=0,t_2=2\), khi đó phương trình ban đầu có 3 nghiệm x. (Không thỏa mãn) Với m<0 thì (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm (vì hệ số thỏa mãn c/a <0). Với m > 0 thì hoặc phương trình (*) không có nghiệm, hoặc có 2 nghiệm cùng dấu (đều không thỏa mãn). Kết luận: m < 0.
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\left|x^2-x\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\). \(M=2,m=\frac{1}{4}\) \(M=\frac{1}{4},m=0\) \(M=6,m=2\) \(M=6,m=0\) Hướng dẫn giải: Vẽ đồ thị hàm số \(y=x^2-x\) rồi bỏ phần nằm dưới trục hoành đồng thời lấy đối xứng phần nằm dưới này qua trục hoành ta được đồ thị hàm số \(y=\left|x^2-x\right|\). Trên đoạn [-2;2] ta có: giá trị lớn nhất bằng \(y\left(-2\right)=\left|\left(-2\right)^2+2\right|=6\) và giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x=1 hoặc x=0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{x-1}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\). \(m>1\) \(m\ge1\) \(m\ge3\) \(m>3\) Hướng dẫn giải: Chú ý tiệm cận đứng của đồ thị là \(x=m\), vì vậy nếu m < 3 thì tiềm cận đứng trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\), khi đó hàm số không thể luôn nghịch biến. Vậy điều kiện: \(m\ge3\), khi đó hàm xác định trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\) và có đạo hàm: \(y'=\frac{x-m-\left(x-1\right)}{\left(x-m\right)^2}=\frac{1-m}{\left(x-m\right)^2}< 0,\forall x\ne m\) Đạo hàm xác định và âm nên hàm số luôn nghịch biến.
Xét hàm số \(y=\frac{x^2+x-3}{x+2}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Hàm số luôn đồng biến Hàm số không có cực trị Hàm số có hai cực trị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải: Hàm số không xác định tai x=-2 nên khẳng định hàm số luôn đồng biến là sai. \(y'=\frac{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)-\left(x^2+x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{x^2+4x+5}{\left(x+2\right)^2}=\frac{\left(x+2\right)^2+1}{\left(x+2\right)^2}>0,\forall x\)Suy ra không có cực trị. \(y=\frac{x^2+x-3}{x+2}=\frac{x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)-1}{x+2}=x-1-\frac{1}{x+2}\) => hàm số có tiệm cận xiên y = x - 1 (không có tiệm cận ngang).
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\frac{3\cos x-1}{3+\cos x}\). \(M=\frac{1}{2},m=-2\) \(M=-\frac{1}{3},m=-2\) \(M=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{3}\) \(M=-\frac{1}{2},m=-2\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\cos x\), \(-1\le t\le1\) suy ra \(y=\frac{3t-1}{3+t}\). Ta có: \(y'=\frac{\left(3+t\right).3-\left(3t-1\right)}{\left(3+t\right)^2}=\frac{4}{\left(3+t\right)^2}>0,\forall t\). Hàm y đồng biến mọi \(t\in\left[-1;1\right]\). Vậy M là giá trị của y khi t=1, m là giá trị của y khi t=-1. \(M=\frac{3.1-1}{3+1}=\frac{1}{2};m=\frac{3.\left(-1\right)-1}{3-1}=-2\)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cưc trị của đồ thị hàm số \(y=2x^3-3x^2\). \(y=x\) \(y=-x\) \(y=x+1\) \(y=-2x\) Hướng dẫn giải: \(y'=6x^2-6x=5x\left(x-1\right)\) \(y'=0\) có 2 nghiệm là 0 và 1 nên hai điểm cực trị là: A: tọa độ x = 0, \(y=2.0^3-3.0^2=0\) => A(0;0) B: tọa độ x =1. \(y=2.1^3-3.1^2=-1\) => B(1;-1) Phương trình đi qua A, B là \(y=-x\)
Cho hàm số \(y=-x-\frac{2}{x}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Đạo hàm của hàm số triệt tiêu và đổi dấu tại \(x=\sqrt{2}\) và tại \(x=-\sqrt{2}\). Hàm số đạt cực trị tại \(x=\sqrt{2}\) và tại \(x=-\sqrt{2}\). Hàm số đạt cực đại \(y=2\sqrt{2}\) và cực tiểu tại \(y=-2\sqrt{2}\). Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(M_1\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2}\right),M_2\left(\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\) Hướng dẫn giải: \(y'=-1+\frac{2}{x^2}=\frac{-x^2+2}{x^2}\) Hàm số có đạo hàm bằng 0 và tại hai điểm có hoành độ là \(-\sqrt{2}\) và \(\sqrt{2}\) và tung độ tương ứng là \(2\sqrt{2}\) và \(-2\sqrt{2}\). y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(-\sqrt{2}\) nên có cực tiểu tại điểm này và giá trị cực tiểu bằng \(2\sqrt{2}\). y' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(\sqrt{2}\) nên có cực đại tại điểm này và giá trị cực đại bằng \(-2\sqrt{2}\). Vậy khẳng định: "Hàm số đạt cực đại \(y=2\sqrt{2}\) và cực tiểu tại \(y=-2\sqrt{2}\)." là sai.
