Hàm số \(y=\sqrt{4-x}-\sqrt{x+6}\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=x_0\). Tìm \(x_0\). \(x_0=-6\) \(x_0=-1\) \(x_0=0\) \(x_0=4\) Hướng dẫn giải: Miền xác định của hàm số: \(\left\{\begin{matrix}4-x\ge0\\x+6\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-6\le x\le4\) \(y'=\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}< 0\) Vậy giá trị lớn nhất tại mút trái \(x=-6\).
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để \(\min_{-1\le x\le1}\left(-x^3-3x^2+m\right)=0\). \(m=4\) \(m=2\) \(m=0\) \(m=1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(y=-x^3-3x^2+m\) \(y'=-3x^2-6x=-3x\left(x+2\right)\) \(y'=0\Leftrightarrow x=0;x=-2\) Vậy trong đoạn [-1;1] hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các điểm tương ứng với \(x=-1;0;1\). Giá trị tương ứng là: \(-2+m;m;-4+m\). Giá trị nhỏ nhất là \(-4+m\). Vậy theo yêu cầu bài toán ta có: \(-4+m=0\Leftrightarrow m=4\)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-3\) tại bốn điểm phân biệt. \(-5< m< -4\) \(-4< m< -3\) \(0< m< 1\) \(m>1\) Hướng dẫn giải: Lập bảng biến thiên hàm số \(y=x^4-2x^2-3\). \(y'=4x^3-4x=4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) Nhìn vào bảng biến thiên thi để đường thằng y=m cắt đồ thị trên tại 4 điểm phân biệt thì: \(-4< m< -3\).
Kí hiệu M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin2x+\sqrt{2-\sin^22x}\). Tính \(M-m\). 4 2 1 5 Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\sin2x\) thì \(t\in\left[-1;1\right]\), hàm số theo t là: \(y=t+\sqrt{2-t^2}\) \(y'=1+\frac{-2t}{2\sqrt{2-t^2}}=\frac{\sqrt{2-t^2}-t}{\sqrt{2-t^2}}\) \(y'=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2-t^2}=t\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}t\ge0\\2-t^2=t^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow t=1\) Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại \(t=-1;1\), giá trị tại hai điểm này là: \(y=0;y=2\). Suy ra M=2; m=0 và \(M-m=2-0=2\).
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2\) cắt đường thẳng \(y=2-x\) tại ba điểm phân biệt A(0;2), \(B_1,B_2\) sao cho gốc toạ độ O và \(B_1,B_2\) là ba đỉnh của tam giác có diện tích bằng 2. \(m=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\) \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) \(m=1,m=2\) \(m=0\) Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \(x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2=2-x\) \(\Leftrightarrow x^3+2mx^2+\left(3m-2\right)x=0\) \(\Leftrightarrow x\left[x^2+2mx+3m-2\right]=0\) Vậy \(B_1,B_2\) có hoành độ \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình \(x^2+2mx+3m-2=0\). Xét tam giác \(OB_1B_2\) có một đáy là \(B_1B_2\) đều nằm trên đường thẳng \(y=2-x\) (vì nó là giao của đường thẳng này với hàm số bậc ba). Gọi chiều cao tương ứng với đáy \(B_1B_2\) là h thì h bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng \(y=2-x\) (tương đương \(x+y-2=0\)) và h bằng: \(h=kc\left(O,x+y-2=0\right)=\frac{\left|0+0-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\) Khoảng cách giữa \(B_1\left(x_1;2-x_1\right)\) và \(B_1\left(x_2;2-x_2\right)\) là: \(B_1B_2=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(2-x_2-2+x_1\right)^2}=\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|\) Theo yêu cầu bài ra: \(\frac{1}{2}B_1B_2.h=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|.\sqrt{2}=2\) \(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\) Theo Vi-et với hai nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình \(x^2+2mx+3m-2=0\) thì đẳng thức trên tương đương với: \(\left\{\begin{matrix}\left(-2m\right)^2-4\left(3m-2\right)=4\\\Delta'=m^2-3m+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị như hình vẽ? \(y=\frac{2x}{x-2}\) \(y=x^4+2x^2\) \(y=x^3-2x^2\) \(y=x^4-2x^3\) Hướng dẫn giải: Đồ thị không có tiệm cận đứng nên không phải là đồ thị hàm \(y=\frac{2x}{x-2}\). Đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng nên không phải là đồ thị hàm chẵn \(y=x^4-2x^2\). \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=+\infty\) nên đồ thị không phải là của hàm số \(y=x^3-2x^2\) (vì hàm số này có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^3-2x^2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\)). Vậy chỉ có \(y=x^4-2x^3\) thoả mãn.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-3mx+1\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\). \(m>1\) \(m\ge1\) \(m\in\mathbb{R}\) \(m\le0\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-3m=3\left(x^2-m\right)\) Để hàm số nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\) thì \(y'\le0\) với mọi \(x\in\left(-1;1\right)\). Điều kiện là: \(\left\{\begin{matrix}m>0\\-\sqrt{m}\le-1< 1\le\sqrt{m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\ge1\)
Hàm số \(y=\frac{x^2-x+1}{x-1}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng cho sau đây? \(\left(1;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(0;2\right)\) \(\left(-\infty;1\right)\) Hướng dẫn giải: Miền xác định của hàm số: \(\text{D}=\left(-\infty;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\). \(y'=\frac{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)-\left(x^2-x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\) \(y'>0\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(2;+\infty\right)\) (không chứa điểm 1). Chọn B vì \(\left(-\infty;0\right)\) nằm trong khoảng đồng biến ở trên.
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) ? \(y=\frac{-1}{x}\) \(y=\frac{1}{x}\) \(y=\frac{1}{x^2}\) \(y=x^3-3x+1\) Hướng dẫn giải: Chọn hàm \(y=x^3-3x+1\) vì các hàm còn lại đều không xác định tại \(x=0\) thuộc khoảng đang xét \(\left(-1;1\right)\).
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có cực trị? \(y=x^4+5x^3-3x^2+2x-1\) \(y=\left(x-1\right)^3+2\) \(y=\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x-1\) \(y=\frac{x^2-x-5}{x+1}\) Hướng dẫn giải: Các đạo hàm bậc 1 của các hàm số lần lượt là: \(y'=4x^3+15x^2-6x+2\) \(y'=3\left(x-1\right)^2\) \(y'=4x^2-12x+9=\left(2x-3\right)^2\) \(y'=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-\left(x^2-x-5\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+4}{\left(x+1\right)^2}\) Trong các đạo hàm trên, ba hàm cuối đạo hàm luôn \(\ge0\) nên chúng không có cực trị (nếu có cực trị thì y' phải đổi dấu qua điểm cực trị, có nghĩa là chúng nhận cả giá trị dương và âm).
