Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y=2\left|x\right|^3-9x^2+12\left|x\right|\) tại sáu điểm phân biệt. \(4< m< 5\) \(m\le4\) \(m\ge5\) \(m=1\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=2\left|x\right|^3-9x^2+12\left|x\right|\) là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Chỉ cần vẽ đồ thị với \(x\ge0\) rồi lấy đối xứng qua trục tung, sau đó tìm điều kiện để đường thẳng y=m cắt đồ thị tại 6 điểm. Với \(x\ge0\) thì \(y=2x^3-9x^2+12x\), \(y'=6x^2-18x+12=6\left(x^2-3x+2\right)=6\left(x-1\right)\left(x-2\right)\) Hàm số có cực đại tại x=1 , y=5 và cực tiểu tại x = 2, y = 4. Đồ thị như hình vẽ. Lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị hàm chẵn ban đầu. Để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị trên tại 6 điểm phân biệt thì \(4< m< 5\).
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y=x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2,x_3\) thoả mãn điều kiện \(x_1^2+x_2^2+x_3^2< 4\). \(m\in\left(-\frac{1}{4};0\right)\) \(m\in\left(0;1\right)\) \(m\in\left(-\frac{1}{4};0\right)\cup\left(0;1\right)\) \(m=0\) Hướng dẫn giải: \(x_1,x_2,x_3\) là nghiệm phương trình: \(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\) (dễ thấy phương trình có nghiệm là 1 nên phân tích để xuất hiện nhân tử \(x-1\)) \(\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\) \(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)^2-m\left(x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2-x-m\right]=0\) Phương trình luôn có nghiệm \(x_3=1\), ta cần tìm m để phương trình bậc hai \(x^2-x-m=0\) có hai nghiệm khác nhau và khác 1 và \(x_1^2+x_2^2+1^2< 4\). Điều kiện là: \(\left\{\begin{matrix}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\end{matrix}\right.\) Áp dụng Vi-et ta có: \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m>-\frac{1}{4}\\m\ne0\\1^2+2.m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\ne0\\-\frac{1}{4}< m< 1\end{matrix}\right.\)
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y=x^3+3x^2+\left(m+1\right)x+4m\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\). \(m< 10\) \(m\le-10\) \(m< -10\) \(m\ge-10\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2+6x+\left(m+1\right)\) Để hàm số nghịch biên trên \(\left(-1;1\right)\) thì \(y'\le0\) với mọi \(x\in\left(-1;1\right)\). Điều kiện là: \(\left\{\begin{matrix}f\left(-1\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) với \(f\left(x\right)=3x^2+6x+\left(m+1\right)\), chú ý Parabol có đỉnh tại x = -1. \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-2+m\le0\\10+m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\le-10\)
Với các giá trị nào của m, đồ thị hàm số \(y=-\left(x-1\right)^3+3m^2\left(x-1\right)-2\) có hai điểm cực trị cách đều gốc toạ độ? \(m=\pm\frac{1}{2}\) \(m=\pm\frac{1}{3}\) \(m=5\) \(m=-5\) Hướng dẫn giải: \(y'=-3\left(x-1\right)^2+3m^2=-3\left(x-1-m\right)\left(x-1+m\right)\) Hai điểm cực trị là: A có toạ độ \(x=1+m,y=2m^3-2\) => \(A\left(1+m,2m^3-2\right)\) B có toạ độ \(x=1-m,y=-2m^3-2\) => \(A\left(1-m,-2m^3-2\right)\). Theo yêu cầu đề bài: \(OA^2=OB^2\) \(\Leftrightarrow\left(1+m\right)^2+\left(2m^3-2\right)^2=\left(1-m\right)^2+\left(-2m^3-2\right)^2\) \(\Leftrightarrow m=\pm\frac{1}{2}\)
