Sắp 7 quyển sách mỹ thuật, 8 quyển sách kĩ thuật trên một giá sách. Có bao nhiêu cách sắp xếp để sách mỹ thuật nằm cạnh sách kĩ thuật. \(A^7_9.8!\) \(C^7_9.8!\) \(C^7_9.8!\) \(7!.8!\) Hướng dẫn giải: Sắp xếp 8 quyển kĩ thuật trên giá sách có 8! cách sắp xếp. Giữa 8 quyển sách này có 9 khoảng trống (2 khoảng trống bên cạnh và 7 khoảng trống ở giữa hai quyển sách). Giữa 9 khoảng trống này có \(A^7_9\) cách sắp xếp 7 quyển sách kĩ thuật. Vậy có \(A^7_9.8!\) cách sắp xếp.
Với các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho chữ số 4 và 5 không đứng cạnh nhau ? 48 cách 72 cách 50 cách 65 cách Hướng dẫn giải: Số các số có 5 chữ số được tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5 là 5!. Ghép 4 và 5 thành một cặp đứng cạnh nhau có 2! cách sắp xếp. Xếp cặp 4 và 5 và các số 1, 2, 3 còn lại có 4! cách sắp xếp. Vậy số các số có 5 chữ số tạo thành từ 1, 2, 3, 4, 5 trong đó 4 và 5 đứng cạnh nhau là: 2!.4!. Số các số có 5 chữ số tạo thành từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho số 4 và 5 không đứng cạnh nhau là: \(51-2!.4!=72\).
Biết \(x\in N\) và \(x\) thỏa mãn \(C^1_x+6C^2_x+3C^3_x=2x^2-14x\) . Tìm giá trị x. \(x=14\) \(x=13\) \(x=7\) \(x=10\) Hướng dẫn giải: \(C^1_x+6C^2_x+6C^3_x=2x^2-14x\) \(\Leftrightarrow x+\dfrac{6.x\left(x-1\right)}{2!}+\dfrac{6x.\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{3!}=2x^2-14x\) \(\Leftrightarrow1+3\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x-2\right)=2x^2-14x\) \(\Leftrightarrow x^2-14x=0\) \(\Leftrightarrow x\left(x-14\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-14=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=14\).
Có 20 điểm trong đó có 5 điểm thẳng hàng, ngoài ra các điểm còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 20 điểm trên. 1130 tam giác. 1140 tam giác. 6840 tam giác. 1500 tam giác. Hướng dẫn giải: Chọn ra các bộ 3 điểm trong 20 điểm có \(C^3_{20}\) (bộ ba điểm). Trong \(C^3_{20}\) bộ điểm này có \(C^3_5\) bộ ba điểm thẳng hàng. Vậy có số tam giác tạo thành là: \(C^3_{20}-C^3_5=1130\) (tam giác).
Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi cạnh nhau. 144 cách. 150 cách. 576 cách. 1200 cách. Hướng dẫn giải: Sắp xếp 4 nam sinh trên một bàn tròn có 3! cách sắp xếp (cố định một bạn). Giữa 4 nam sinh có 4 chỗ trống nên co 4! cách sắp xếp 4 bạn nữ còn lại. Vậy có 3!.4! = 144 cách sắp xếp.
Biết n thỏa mãn \(A^3_n+C^{n-2}_n=14n\). Tìm hệ số chứa \(x^8\) trong khai triển \(\left(2x^2+x\right)^n\) . 80 100 160 40 Hướng dẫn giải: \(A^3_n+C^{n-2}_n=14n\) \(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=14n\) \(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n-2\right)+\dfrac{n-1}{2}=14\) \(\Leftrightarrow n=5\). Ta có \(\left(2x^2+x\right)^n=\left(2x^2+x\right)^5=x^5\left(2x+1\right)^5\)\(=\sum_{k=1}^5C^k_52^kx^k.x^5\) Ta có \(k+5=8\Leftrightarrow k=3\). Vậy hệ số chứa \(x^8\) trong khai triển \(\left(2x^2+x\right)^n\) là: \(C^3_52^3=80\).
Gieo đồng xu liên tiếp 10 lần. Tính xác suất để lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt ngửa? \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{2^{10}}\) \(\dfrac{1}{10}\) \(\dfrac{1}{50}\)
Gieo 1 con xúc sắc 10 lần. Tính xác suất để số lần xuất hiện mặt 6 chấm là 3 lần. \(\dfrac{C^3_{10}.5^7}{6^{10}}\) \(\dfrac{1^3.5^7}{6^{10}}\) \(\dfrac{C^3_{10}.1^3}{6^{10}}\) \(\dfrac{A^3_{10}.5^7}{6^{10}}\) Hướng dẫn giải: Gọi D là biến cố số lần xuất mặt 6 chấm là 3 lần. \(\left|\Omega\right|=6^{10}\) Số cách 3 lần xuất hiện mặt 6 chấm là: \(C^3_{10}\). Mỗi lần gieo trong 3 lần gieo này chỉ có 1 cách lựa chọn mặt 6 chấm. Trong 7 lần gieo còn lại, mỗi lần gieo có 5 cách lựa chọn. \(\left|\Omega_D\right|=C^3_{10}.1^3.5^7\) \(P\left(D\right)=\dfrac{C^3_{10}.1^3.5^7}{6^{10}}\)\(=\dfrac{C^3_{10}.5^7}{6^{10}}\).
