Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(\log_2\left(-x^2-3x-m+10\right)=3\) có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu ? m < 4 m < 2 m > 2 m > 4 Hướng dẫn giải: \(\log_2\left(-x^2-3x-m+10\right)=3\) \(\Leftrightarrow-x^2-3x-m+10=2^3\) (chú ý không cần điều kiện biểu thức dưới logarit dương vì biểu thức đó bẳng \(2^3\)) \(\Leftrightarrow-x^2-3x-m+2=0\) Để phương trình trên có hai nghiệm thực trái dấu thì hệ số a và c của tam thức bậc hai trái dấu. Tức là: \(-m+2>0\) \(m< 2\)
Cho biết phương trình \(\log_3\left(3^{x+1}-1\right)=2x+\log_{\frac{1}{3}}2\) có hai nghiệm; gọi hai nghiệm đó là \(x_1;x_2\). Hãy tính tổng \(S=27^{x_1}+27^{x_2}\) \(S=180\) \(S=45\) \(S=9\) \(S=252\) Hướng dẫn giải: \(\log_3\left(3^{x+1}-1\right)=2x+\log_{\frac{1}{3}}2\) \(\Leftrightarrow3^{x+1}-1=3^{2x+\log_{\frac{1}{3}}2}\) \(\Leftrightarrow3^{x+1}-1=3^{2x}.3^{-\log_32}\) \(\Leftrightarrow3^{x+1}-1=3^{2x}.\left(3^{\log_32}\right)^{-1}\) \(\Leftrightarrow3^{x+1}-1=3^{2x}.2^{-1}\) \(\Leftrightarrow3^{x+1}-1=\frac{3^{2x}}{2}\) \(\Leftrightarrow2.3.3^x-2=3^{2x}\) \(\Leftrightarrow3^{2x}-6.3^x+2=0\) \(\Leftrightarrow3^{2x}-6.3^x+2=0\) Đặt \(t=3^x\) nên \(t\) là nghiệm phương trình: \(t^2-6t+2=0\) (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm \(t_1;t_2\) và phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x_1;x_2\). Ta có: \(S=27^{x_1}+27^{x_2}=\left(3^{x_1}\right)^3+\left(3^{x_2}\right)^3=t_1^3+t_2^3\) \(=\left(t_1+t_2\right)\left(t_1^2-t_1t_2+t_2^2\right)\) \(=\left(t_1+t_2\right)\left[\left(t_1+t_2\right)^2-3t_1t_2\right]\) \(=6\left[\left(6\right)^2-3.2\right]=180\) (vì theo Vi-et: \(t_1+t_2=-\frac{b}{a}=6;t_1t_2=\frac{c}{a}=2\))
Giải phương trình \((0,8)^{x(x-2)} =(1,25)^{x-3}\) . Phương trình vô nghiệm. \(x=\dfrac{1-\sqrt13}{2}\) hoặc \(x=\dfrac{1+\sqrt13}{2}\) . \(x=-\dfrac{1+\sqrt13}{2}\) hoặc \(x=-\dfrac{1-\sqrt13}{2}\). \(x=\dfrac{3-\sqrt21}{2}\) hoặc \(x=\dfrac{3+\sqrt21}{2}\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng \(1,25=\dfrac{125}{100}=\dfrac{5}{4}\) và \(0,8=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-1}\) Khi đó ta có \(\left(\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-1}\right)^{x\left(x-2\right)}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{x-3}\Rightarrow\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-x\left(x-2\right)}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{x-3}\) \(\Rightarrow-x\left(x-2\right)=x-3\Rightarrow-x^2+x+3=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \(2^{x^2}.4^{x-1}=1\) \(S=\{0;1\}\) \(S=\left\{\frac{1}{2}\right\}\) \(S=\{-1-\sqrt3;-1+\sqrt3\}\) \(S=\{\dfrac{-1-\sqrt3}{2};\dfrac{-1+\sqrt3}{2}\}\) Hướng dẫn giải: Gợi ý \(4^{x-1}=2^{2(x-1)}\)
Cho phương trình \(\dfrac{1}{2^{x^2-x}}=\dfrac{3}{5}\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Phương trình đã cho vô nghiệm. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình đã cho thành \(2^{x^2-x}=\dfrac{5}{3}\) . Phương trình tương đương với \(x^2-x-log_2\dfrac{5}{3}=0\) . Vậy phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Chọn D.
Giải phương trình \(3^{2x-1} + 2.3^{x-1} -1=0\) . \(x=1\) \(x=0\) \(x=2\) \(x=-1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3^x\)
Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số \(y=3^x\) và \(y=\dfrac{1}{3}\) . \(x=1\) \(x=3\) \(x=-1\) \(x=\dfrac{1}{3}\) Hướng dẫn giải: Phương trình xác định hoành độ giao điểm là \(3^x= \dfrac{1}{3}\) .
Giải phương trình \((\dfrac{3}{2})^{2-2x} =(\dfrac{8}{27})^{x-2}\) . \(x=\frac{8}{5}\) \(x=\frac{4}{5}\) \(x=4\) \(x=8\) Hướng dẫn giải: Đổi về cơ số \(\frac{2}{3}\)
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\left(\frac{5}{4}\right)^{1-x^2}=\left(\frac{16}{25}\right)^{2x+2}\) . \(S=\{1;-5\}\) \(S=\{-1;5\}\) \(S=\{-1\}\) \(S=\{-5\}\) Hướng dẫn giải: Đổi về cơ số \(\frac{4}{5}\)
Tính số nghiệm của phương trình \(2^x-3.2^{\frac{x+2}{2}}+8=0\) . 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: Đặt \(t=2^{\frac{x}{2}}\)
