Tìm nghiệm của phương trình \(3^{x-1}=27\) \(x=9\) \(x=3\) \(x=4\) \(x=10\) Hướng dẫn giải: \(3^{x-1}=27\) \(\Leftrightarrow3^{x-1}=3^3\) \(\Leftrightarrow x-1=3\) \(\Leftrightarrow x=4\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(6^x+\left(3-m\right)2^x-m=0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left(0;1\right)\). \(\left[3;4\right]\) \(\left[2;4\right]\) \(\left(2;4\right)\) \(\left(3;4\right)\) Hướng dẫn giải: Chuyển phương trình về dạng \(m=f\left(x\right)\) rồi lập bảng biến thiên \(f\left(x\right)\) trên \(\left(0;1\right)\). \(6^x+\left(3-m\right)2^x-m=0\) \(\Leftrightarrow6^x+3.2^x=m\left(2^x+1\right)\) \(\Leftrightarrow m=\frac{6^x+3.2^x}{2^x+1}\) Đặt \(f\left(x\right)=\frac{6^x+3.2^x}{2^x+1}\) \(f'\left(x\right)=\frac{\left(2^x+1\right)\left(6^x\ln6+3.2^x\ln2\right)-\left(6^x+3.2^x\right)2^x\ln2}{\left(2^x+1\right)^2}\) \(=\frac{2^x6^x\left(\ln6-\ln2\right)+6^x\ln6+3.2^2\ln2}{\left(2^x+1\right)^2}>0\) Vậy \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và suty ra cũng đồng biến trên \(\left(0,1\right)\). Vậy \(f\left(0\right)< f\left(x\right)< f\left(1\right),\forall x\in\left(0;1\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{6^0+3.2^0}{2^0+1}< f\left(x\right)< \frac{6^1+3.2^1}{2^1+1}\) \(\Leftrightarrow2< f\left(x\right)< 4\), \(\forall x\in\left(0;1\right)\) Vậy để phương trình có nghiệm thì \(2< m< 4\).
Cho \(a>0,a\ne1\). Khẳng định nào sau đây đúng? Tập giá trị của hàm số \(y=a^x\) là \(\mathbb{R}\). Tập giá trị của hàm số \(y=\log_ax\) là \(\mathbb{R}\). Tập xác định của hàm số \(y=a^x\) là khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Tập xác định của hàm số \(y=\log_ax\) là \(\mathbb{R}\). Hướng dẫn giải: Tập giá trị của hàm số \(y=a^x\) là \(\left(0;+\infty\right)\). Tập giá trị của hàm số \(y=\log_ax\) là \(\mathbb{R}\). Tập xác định của hàm số \(y=a^x\) là \(\mathbb{R}\). Tập xác định của hàm số \(y=\log_ax\) là \(\left(0;+\infty\right)\).
Tìm nghiệm của phương trình \(3^{2x-1}+2.3^{x-1}-1=0\). \(x=1\) \(x=0\) \(x=2\) \(x=-1\) Hướng dẫn giải: \(3^{2x-1}+2.3^{x-1}-1=0\) \(\Leftrightarrow3^{2x-2+1}+2.3^{x-1}-1=0\) \(\Leftrightarrow3^{2\left(x-1\right)}.3+2.3^{x-1}-1=0\) Đặt \(t=3^{x-1}\left(t>0\right)\) \(\Leftrightarrow t^2.3+2.t-1=0\) \(\Leftrightarrow3t^2+2.t-1=0\) \(\left[\begin{matrix}t=-1\left(loại\right)\\t=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) Suy ra \(3^{x-1}=\frac{1}{3}=3^{-1}\) \(\Leftrightarrow x-1=-1\Leftrightarrow x=0\)
Giải phương trình \(3^x-8.3^{\frac{x}{2}}+15=0\). \(\left[\begin{matrix}x=2\\x=\log_325\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x=2\\x=\log_35\end{matrix}\right.\) \(\left[\begin{matrix}x=\log_35\\x=\log_325\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3^{\frac{x}{2}},t>0\) thì phương trình đã cho trở thành \(t^2-8t+15=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}t=3\\t=5\end{matrix}\right.\) Vậy: \(\left[\begin{matrix}3^{\frac{x}{2}}=3\\3^{\frac{x}{2}}=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=2\\\frac{x}{2}=\log_35\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=2\\x=2\log_35=\log_35^2=\log_325\end{matrix}\right.\)
Tìm số nghiệm của phương trình \(2.27^x+18^x=4.12^x+3.8^x\). 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: \(2.27^x+18^x=4.12^x+3.8^x\) \(\Leftrightarrow2.\left(3^3\right)^x+\left(2.3^2\right)^x=4.\left(2^2.3\right)^x+3.\left(2^3\right)^x\) \(\Leftrightarrow2.3^{3x}+2^x.3^{2x}=4.2^{2x}.3^x+3.2^{3x}\) Chia cả hai vế cho \(2^{3x}\) ta có: \(\Leftrightarrow2.\left(\frac{3}{2}\right)^{3x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}=4.\left(\frac{3}{2}\right)^x+3\) Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,t>0\) thì: \(2.t^3+t^2=4t+3\) \(\Leftrightarrow2t^3+t^2-4t-3=0\) Nhẩm thấy có 1 nghiệm \(t=-1\) nên ta chia đa thức vế trái cho t+1, sau đó đưa phương trình về dạng: \(\left(2t-3\right)\left(t+1\right)^2=0\) Phương trình chỉ có 1 nghiệm dương là \(t=\frac{3}{2}\), thay vào tìm được x = 1.
Giải phương trình \(2^{x^2-2x}=\frac{3}{2}\). \(x=1\pm\sqrt{\log_23}\) \(x=2\pm\sqrt{\log_23}\) \(x=1+\sqrt{\log_23}\) \(x=1-\sqrt{\log_23}\) Hướng dẫn giải: \(2^{x^2-2x}=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow2^{x^2-2x}.2=3\) \(\Leftrightarrow2^{x^2-2x+1}=3\) \(\Leftrightarrow x^2-2x+1=\log_23\) \(\Leftrightarrow x^2-2x+1-\log_23=0\) \(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{\log_23}\) (chú ý: \(\Delta'=1^2-1+\log_23=\log_23\))
Với giá trị nào của m, phương trình \(4^{x+1}-2^{x+2}+m=0\) có hai nghiệm phân biệt? \(m< 1\) \(m\le0\) \(m\ge1\) \(0< m< 1\) Hướng dẫn giải: \(4^{x+1}-2^{x+2}+m=0\) \(\Leftrightarrow4.4^x-4.2^x+m=0\) Đặt \(t=2^x,t>0\) \(\Leftrightarrow4.t^2-4.t+m=0\) (*) Chú ý rằng với mỗi t dương chỉ tương ứng với 1 giá trị của x. Vậy để phương trình có hai nghiệm x phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm t dương. Điều kiện là: \(\left\{\begin{matrix}f\left(0\right)>0\\f\left(-\frac{b}{2a}\right)< 0\\-\frac{b}{2a}>0\end{matrix}\right.\) với \(f\left(t\right)=4t^2-4t+m\), \(-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2.4}=\frac{1}{2}\) \(\left\{\begin{matrix}m>0\\4.\left(\frac{1}{2}\right)^2-4.\left(\frac{1}{2}\right)+m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m< 1\)
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\log_3\left(5x+2\right)=\log_3\left(-2x+5\right)\). \(\left\{\frac{3}{7}\right\}\) \(\left\{\frac{7}{3}\right\}\) \(\left\{1\right\}\) \(\left\{\frac{5}{7}\right\}\) Hướng dẫn giải: \(\log_3\left(5x+2\right)=\log_3\left(-2x+5\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5x+2>0\\-2x+5>0\\5x+2=-2x+5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{7}\)
Tìm x, biết \(\log_2x=2\log_2a+3\log_2b\). \(x=a^3b^2\) \(x=a^2b^3\) \(x=a^2b^2\) \(x=a^3b^3\) Hướng dẫn giải: \(\log_2x=2\log_2a+3\log_2b\) \(\Leftrightarrow\log_2x=\log_2a^2+\log_2b^3\) \(\Leftrightarrow\log_2x=\log_2\left(a^2b^3\right)\) \(\Leftrightarrow x=a^2b^3\)
