Hỏi phương trình \(3x^2-6x+\ln\left(x+1\right)^3+1=0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt? 2. 1. 3. 4. Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(f\left(x\right)=3x^2-6x+\ln\left(x+1\right)^3+1\) với trục hoành. Trên tập xác định \(D=\left(-1;+\infty\right)\) ta có \(f'\left(x\right)=6x-6+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{3\left[2\left(x^2-1\right)+1\right]}{x+1}=\dfrac{3\left(2x^2-1\right)}{x+1}\). Bảng biến thiên hàm số \(y=f\left(x\right)\): Chú ý rằng \(f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{\sqrt{2}}+3\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1\right)+1=\dfrac{5-6\sqrt{2}}{2}+3\ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx\)-0,1382406969<0 và \(f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{\sqrt{2}}+3\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1\right)+1=\dfrac{5-6\sqrt{2}}{2}+3\ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx\) 3,05879915522 >0. Do đó đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn \(\left[-2017;2017\right]\) để phương trình \(\log\left(mx\right)=2\log\left(x+1\right)\) có nghiệm duy nhất? 2017. 4014. 2018. 4015. Hướng dẫn giải: Với điều kiện \(x>-1\) thì \(2\log\left(x+1\right)=\log\left(x+1\right)^2\), phương trình đã cho tương đương vơí: \(\log\left(mx\right)=\log\left(x+1\right)^2\Leftrightarrow mx=\left(x+1\right)^2\Leftrightarrow m=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x}\). Phương trình sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x+1}{x},x>-1\) và đường thẳng \(y=m\) có điểm chung duy nhất. Ta có \(f'\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{x^2}\), hàm số đã cho có bảng biến thiên sau: Số giao điểm sẽ là 1 khi và chỉ khi \(m< 0\) hoặc \(m=4\). Trong đoạn \(\left[-2017;2017\right]\)có 2017 số nguyên âm; \(m=4\in\) \(\left[-2017;2017\right]\) Vậy đáp số là 2018.
Cho phương trình \(4^x+2^{x+1}-3=0\). Khi đặt \(t=2^x\) , ta được phương trình nào dưới đây ? \(2t^2-3=0\) \(t^2+t-3=0\) \(4t-3=0\) \(t^2+2t-3=0\) Hướng dẫn giải: Vì \(t=2^x\) và \(4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2x}=\left(2^x\right)^2=t^2\), \(2^{x+1}=2^1.2^x=2t\) nên phương trình đã cho trở thành \(t^2+2t-3=0\). Đáp số: \(t^2+2t-3=0\)
Tìm nghiệm của phương trình \( {\log _2}\left( {x - 5} \right) = 4\) x=3 x=13 x=21 x=11 Hướng dẫn giải: Thử trực tiếp ta thấy chỉ có \(x=21\) thỏa mãn phương trình đã cho. Đáp số: \(x=21\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({3^x} = m\) có nghiệm thực. \(m \ge 0\) \(m \ne 0\) \( m > 0\) \(m \ge 1\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=3^x\) có tập giá trị là khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) nên để phương trình \({3^x} = m\) có nghiệm thực thì điều kiện cần và đủ là \(m>0\).
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình \({9^x} - {2.3^{x + 1}} + m = 0\) có hai nghiệm thực \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2=1\) \(m=6\) \(m=-3 \) \(m=3 \) \(m=1\) Hướng dẫn giải: Cách 1: \({9^x} - {2.3^{x + 1}} + m = 0 (*) \Leftrightarrow {({3^x})^2} - {6.3^x} + m = 0\) Đặt \(t = {3^x} \Rightarrow {t^2} - 6t + m = 0(**)\) Theo đề bài \(x_1 + {x_2} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}{t_1} + {\log _3}{t_2} = 1 \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} = 3\) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1 + {x_2} = 1\) thì điều kiện cần và đủ là phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt \(t_1,t_2\) thỏa mãn điều kiện \({t_1}.{t_2} = 3\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' > 0}\\ {m = 3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9 - m > 0}\\ {m = 3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 9}\\ {m = 3} \end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3 \end{array}\) Cách 2: Bài toán trở thành " Tìm m để phương trình (**) có hai nghiệm \(t_1,t_2\) với tích bằng 3. Lần lượt thay các giá trị đã cho của m vào (**) ta thấy chỉ có \(m=3\) thỏa mãn.
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1\). \(S = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\} \) \(S = \left\{ 3 \right\}\) \(S = \left\{ {2 - \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\} \) \(S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện \(x>1\). \(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2 + \sqrt 5 }\\ {x = 2 - \sqrt 5 } \end{array}} \right. \end{array} \) Kết hợp điều kiện suy ra \(S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(4^x-2^{x+1}+m=0\) có hai nghiệm thực phân biệt. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\) \(m \in \left( {0;1} \right] \) \(m \in \left( {0;1} \right) \) \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=2^x,t>0\) (\(\Leftrightarrow x=\log_2t\)) , phương trình đã cho trở thành \(t^2-2t+m=0\) (1). Phương trình đã cho sẽ có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=1-m>0\\t_1+t_2=2>0\\t_1t_2=m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m< 1\Leftrightarrow m\in\left(0;1\right)\).
Tìm nghiệm của phương trình \( {\log _2}\left( {1 - x} \right) = 2 \). Hướng dẫn giải: Mũ hóa theo cơ số 2 ta được phương trình tương đương \(1-x=2^2\Leftrightarrow x=-3\).
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \(\log_3x.\log_9x.\log_{27}x.\log_{81}x=\dfrac{2}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\dfrac{82}{9}\) \(\dfrac{80}{9}\) \(9\) \(0\) Cách 1 (tự luận): \(\log_3x.\log_9x.\log_{27}x.\log_{81}x=\dfrac{2}{3}\) Đặt \(\log_3x=t\), ta có \(\log_3x.\dfrac{1}{2}.\log_3x.\dfrac{1}{3}.\log_3x.\dfrac{1}{4}.\log_3x=\dfrac{2}{3}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{24}.t^4=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow t^4=16\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\log_3x=2\\\log_3x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3^2=9\\x=3^{-2}=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\) Tổng giá trị hai nghiệm là \(9+\dfrac{1}{9}=\dfrac{82}{9}\) Cách 2 (casio): Dùng lệnh SOLVE trong MODE COMP: -Nhập phương trình \(\log_3x.\log_9x.\log_{27}x.\log_{81}x-\dfrac{2}{3}\) : i3$Q)$i9$Q)$i27$Q)$i81$Q)$pa2R3 Dùng lệnh SOLVE để giải phương trình (khi máy hỏi X? ta nhập một giá trị nào đó): qr1=. Màn hình hiện kết quả Nhận được một nghiệm của phương trình là 0,1111111111 \(\approx\dfrac{1}{9}\). - Tìm nghiệm tiếp: trở lại biểu thức đã nhập và sửa lại thành \(\left(\log_3x.\log_9x.\log_{27}x.\log_{81}x-\dfrac{2}{3}\right):\left(x-\dfrac{1}{9}\right)\) nhấn các phím: !)$(!!P(Q)pa1R9$) - Giải phương trình \(\left(\log_3x.\log_9x.\log_{27}x.\log_{81}x-\dfrac{2}{3}\right):\left(x-\dfrac{1}{9}\right)=0\) bằng cách nhấn tiếp qr= Máy cho nghiệm thứ hai \(x=9\). - Làm tương tự để tiếp tục tìm nghiệm: !)$(!!P(Q)p9)qr= Màn hình báo Continue , phương trình không còn nghiệm nào. Vậy tổng các nghiệm phương trình là \(9+\dfrac{1}{9}=\dfrac{82}{9}\).
