Cho hàm số \(y=x^3-3\left(2m+1\right)x^2+\left(12m+5\right)x+2\) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\). \(-\frac{1}{\sqrt{6}}\le m\le\frac{1}{\sqrt{6}}\) \(m>\frac{1}{2}\) \(m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\) \(m\le\dfrac{5}{12}\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5\) \(\Delta'=\left[3\left(2m+1\right)\right]^2-3\left(12m+5\right)=36m^2-6\) TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow\frac{-1}{\sqrt{6}}\le m\le\frac{1}{\sqrt{6}}\) Khi đó \(y'>0\forall x\) . Vậy thì hàm số y sẽ đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\) TH2: \(\Delta'>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\\m>\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right.\) Khi đó y' có hai nghiệm là \(x_1=\frac{-\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\) \(< x_2=\frac{\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\) Ta có bảng xét dấu: Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) thì \(x_2\le2\Rightarrow\)\(\frac{\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\le2\) \(\Rightarrow\sqrt{36m^2-6}\le-6m+3\left(ĐK:m\le\frac{1}{2}\right)\) \(\Rightarrow36m^2-6\le36m^2-36m+9\Rightarrow m\le\frac{5}{12}.\) Vậy với TH2 thì \(\left[\begin{array}{nghiempt}m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{5}{12}\ge m>\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right.\) Kết hợp hai TH ta suy ra \(m\le\frac{5}{12}.\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-mx+m+2}{-x+m+1}\). Để hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(2;+\infty\right)\), giá trị cần tìm của tham số \(m\) là : \(4-3\sqrt{2}< m< 4+3\sqrt{2}\) \(m\le4-3\sqrt{2}\) \(m< 1\) \(m\ge4+3\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: \(y=\frac{2x^2-mx+m+2}{-x+m+1}\) \(y'=\frac{-2x^2+4\left(m+1\right)x-m^2+2}{\left(-x+m+1\right)^2}\) Dấu \(y'\) là dấu của tam thức bậc hai : \(g\left(x\right)=-2x^2+4\left(m+1\right)x-m^2+2\) Tam thức này có \(\Delta'=4\left(m^2+2m+1\right)-2m^2+4=2\left(m+2\right)^2\ge0\) với mọi m * \(m=-2\) thì \(y=\frac{2x^2+2x}{-x-1}=-2x\) nghịch biến với mọi x * \(m\ne-2\) thì \(g\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) Để \(g\left(x\right)\le0\), với mọi \(x\in\left(2;+\infty\right)\) thì \(\begin{cases}-2.g\left(2\right)\ge0\\\frac{S}{2}-2< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2-8m-2\ge0\\m-1< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m\le4-3\sqrt{2}\)
Cho hàm số \(y=x^3+3x^2+3x+1\) có đồ thị (C). Trong các câu dưới đây, câu nào sai? Hàm số tăng trên \(\mathbb{R}\) Trên (C), tồn tại hai điểm \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\) sao cho 2 tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc với nhau (C) chỉ cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C) là trục \(Ox:y=0\) Hướng dẫn giải: \(y=x^3+3x^2+3x+1=\left(x+1\right)^3\) \(y'=3\left(x+1\right)^2;y''=6\left(x+1\right)\Rightarrow\) (A) đúng Hệ số góc của tiếp tuyến tại A : \(k_1=3\left(x_A+1\right)^2\) Hệ số góc của tiếp tuyến tại B : \(k_2=3\left(x_B+1\right)^2\) \(k_1.k_2=9\left(x_A+1\right)^2.\left(x_B+1\right)^2>0\)
Cho hàm số \(y=\cos x+ax\) Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ? \(a\ge1\) \(a\le-1\) \(0< a\le1\) \(-1\le a\) Hướng dẫn giải: \(y=\cos x+ax\Rightarrow y'=-\sin x+a\) Để hàm số đông biến với mọi x thì: \(y'\ge0\) với mọi x Hay là: \(-\sin x+a\ge0\) với mọi x \(\Leftrightarrow a\ge\sin x\) với mọi x \(\Leftrightarrow a\ge1\) (vì \(\sin x\le1\))
Cho hàm số \(y=2x+\ln\left(x+2\right)\). Hãy chọn mệnh đề sai ? Hàm số có tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash\)(\(-\infty;-2\)] Tại \(x=-\frac{5}{2}\) thì \(f\left(x\right)=ln\dfrac{1}{2}\). Hàm số tăng trên tập xác định \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=+\infty\) Hướng dẫn giải: \(y=2x+ln\left(x+2\right)\) được xác định khi \(x+2>0\Leftrightarrow x>-2\) Hay là: \(D=\mathbb{R}\backslash\)(\(-\infty;-2\)] hoặc \(D=\left(-2;+\infty\right)\) \(y'=2+\frac{1}{x+2}=\frac{2x+5}{x+2}\) Với x > -2 thì y' > 0, vậy hàm số tăng trên miền xác định. vì \(-\frac{5}{2}\notin D\) nên không tồn tại \(f\left(-\dfrac{5}{2}\right)\).
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có tính chất : \(f'\left(x\right)\ge0,\forall x\in\left(0;3\right)\) và \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x\in\left(1;2\right)\) Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? Hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;3\right)\) Hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;1\right)\) Hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên khoảng \(\left(2;3\right)\) Hàm số \(f\left(x\right)\) là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng \(\left(1;2\right)\) Hướng dẫn giải: Trên khoảng (0 ;3) hàm f(x) có đạo hàm bằng 0 trên đoạn con (1 ; 2) nên f(x) không phải đồng biến trên (0;3).
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f'\left(x\right)\le0,\forall x\in\mathbb{R}\) và \(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{R}\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? Với mọi \(x_1;x_2\in\mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}< 0\) Với mọi \(x_1;x_2\in\mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>0\) Với mọi \(x_1;x_2;x_3\in\mathbb{R}\) và \(x_1< x_2< x_3\), ta có \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_3\right)}< 0\) Với mọi \(x_1;x_2;x_3\in\mathbb{R}\) và \(x_1>x_2>x_3\), ta có \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_3\right)}< 0\) Hướng dẫn giải: Hàm f(x) có đạo hàm \(\le0\) và chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm thì f(x) nghịch biến.
Cho hàm số \(y=x^5-5x\). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? Hàm số đã cho nghịch biến trên nửa khoảng (-\(\infty\); 1] và đồng biến trên nửa khoảng [1; +\(\infty\) ) Hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng (-\(\infty\); 1] và nghịch biến trên nửa khoảng [1; +\(\infty\) ) Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi nửa khoảng (-\(\infty\); 1], [1; +\(\infty\)) và đồng biến trên nửa khoảng [-1; 1] Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-\(\infty\); -1]; [1;+\(\infty\)) và nghịch biến trên đoạn [-1;1] Hướng dẫn giải: \(y'=5x^4-5=5\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) \(y'\ge0\) với \(x\le-1;x\ge1\) và \(y'\le0\) với \(-1\le x\le1\)
Hàm số \(y=x-\sqrt{x}+2\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau: \(\left(0;4\right)\) \(\left(0;\frac{1}{4}\right)\) \(\left(\frac{1}{4};+\infty\right)\) \(\left(4;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Tập xác định của hàm số: \(x\ge0\) \(y'=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\) Hàm số đồng biến khi \(y'>0\) \(y'>0\Leftrightarrow1-\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{4}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\cos x+mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ? \(m< 1\) \(m\le1\) \(m\ge1\) \(m>1\) Hướng dẫn giải: \(y'=-\sin x+m\) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\ge0\) với \(\forall x\in\mathbb{R}\), hay là: \(\Leftrightarrow-\sin x+m\ge0\) với \(\forall x\in\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow m\ge\sin x\) với \(\forall x\in\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow m\ge1\) (vì \(\sin x\in\left[-1;1\right],\forall x\in\mathbb{R}\)
