Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=\frac{\tan x-2}{m\tan x-2}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) ? \(m\le-1\) \(-1\le m\le2\) \(1< m< 2\) \(1< m\le2\) Hướng dẫn giải: \(y'=\frac{\left(m\tan x-2\right)\frac{1}{\cos^2x}-\left(\tan x-2\right).m.\frac{1}{\cos^2x}}{\left(m\tan x-2\right)^2}\) \(=\frac{2\left(m-1\right)}{\cos^2x\left(m\tan x-2\right)^2}\) Để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) thì ta có hai điều kiện sau: - Hàm số xác định trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) - \(y'>0\) với mọi \(x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) Để hàm số xác đinh trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) ta xét 2 trường hợp: TH1: m = 0, \(y=-\frac{1}{2}\left(\tan x-2\right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\), vậy m = 0 không thỏa mãn TH2: \(m\ne0\), khi đó: \(y=\frac{\tan x-2}{m\left(\tan x-\frac{2}{m}\right)}\), để hàm xác định với mọi \(x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) thì \(\frac{2}{m}\notin\left(0;1\right)\) vì \(\tan x\in\left(0;1\right),x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) \(\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< 0\\0< m\le2\end{array}\right.\) (vì đang xét \(m\ne0\)). Kết hợp với điều kiện \(y'>0\) (tức là \(m>1\)) ta có: \(1< m\le2\). Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) là \(1< m\le2\).
Tìm các bộ ba số thực (a; b; c) để hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+c\) đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\),\(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) và có đồ thị đi qua điểm \(\left(0;1\right)\). \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-1;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-3;1\right)\) \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-3;1\right)\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra -1 và 1 là hai điểm cực trị của hàm số, hay \(-1;1\) là hai nghiệm của \(y'=3x^2+2ax+b\), từ đó \(a=0,b=-3\).
Cho hàm số \(y=\frac{-x+3}{x+1}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trên tập \(\left(-\infty;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến với mọi \(x\) Hướng dẫn giải: \(y'=-\frac{4}{\left(x+1\right)^2}\)\(< 0,\forall x\in\left(-\infty;-1\right)\) và \(\forall x\in\left(-1;+\infty\right)\) . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).
Hàm số \(y=\frac{x^2-x+1}{x-1}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây: \(\left(1;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(0;2\right)\) \(\left(-\infty;1\right)\) Hướng dẫn giải: Có \(y'=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\) . Lập bảng biến thiên của hàm số đã cho ta thấy phương án trả lời đúng là \(\left(-\infty;0\right)\).
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) ? \(y=-\frac{1}{x}\) \(y=\frac{1}{x}\) \(y=\frac{1}{x^2}\) \(y=x^3-3x+1\) Hướng dẫn giải: Các hàm số cho trong A, B, C đều không xác định tại \(x=0\in\left(-1;1\right)\) nên cả 3 phương án trả lời này đều sai. Chọn D.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+\left(m+1\right)x+4m\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;1\right)\) \(m< 10\) \(m\le-10\) \(m< -10\) \(m\ge-10\) Hướng dẫn giải: Có \(y'=3x^2+6x+m+1\) . Yêu cầu bài toán được thực hiện khi \(m\le-3x^2-6x-1,\forall x\in\left(-1;1\right)\) hay m không lớn hơn mọi giá trị của hàm số \(f(x)=-3x^2-6x-1\) với \(x\in\left(-1;1\right)\) . Lập bảng biến thiên của hàm số này ta thấy \(-3x^2-6x-1\in\left(-10;2\right)\), do đó chỉ cần \(m\leq -10\) sẽ thỏa mãn điều kiện đề bài
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{x-1}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\) \(m\ge3\) \(m\ge1\) \(m>1\) \(m>3\) Hướng dẫn giải: Điều kiện cần là hàm số phải xác định trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\) nên \(m\notin\left(-\infty;3\right)\) từ đó \(m\ge3\) , vì vậy B và C bị loại. Với điều kiện \(m\ge3\) thì \(y'=\frac{-\left(m-1\right)}{\left(x-m\right)^2}< 0,\forall x\in\left(-\infty;3\right)\) , hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\) . Vậy phương án trả lời đúng là \(m\ge3\).
Cho hàm số \(y=x^3-2x^2+x+1\), mệnh đề nào sau đây đúng? Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{3};1\right)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{3};1\right)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{3};+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: \(y'=3x^2-4x+1\) \(y'\) có 2 nghiệm là \(\frac{1}{3};1\) và \(y'\) âm khi \(x\in\left(\frac{1}{3};1\right)\) và dương khi \(x\) nằm ngoài khoảng này. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{3};1\right)\).
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\ln\left(x^2+1\right)-mx+1\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) ? (\(-\infty;-1\)] \(\left(-\infty;-1\right)\) \(\left[-1;1\right]\) [\(1;+\infty\)) Hướng dẫn giải: \(y'=\frac{2x}{x^2+1}-m\) Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\ge0;\forall x\), hay là: \(m\le\frac{2x}{x^2+1}\). Đặt \(f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+1}\), ta lập bảng biến thiên của f(x). \(f'\left(x\right)=\frac{\left(x^2+1\right).2-2x.2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\) Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x}{x^2+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{1}=0\) Bảng biến thiên của f(x) như sau: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy miền giá trị của f(x) là \(\left[-1;1\right]\). Vậy để \(m\le f\left(x\right);\forall x\) thì \(m\le-1\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Hàm số luôn luôn đồng biến. Hàm số đồng biến trong hai khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\) . Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left(0;3\right)\) Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-1;0\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f'\left(x\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2\ge0,\forall x\), do đó A, B. C đúng; D sai. Chọn D.
