Tổng hợp lý thuyết và bài tập Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
    • Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;0\right)\)
    • Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;1\right)\)
    • Hàm số luôn luôn nghịch biến
    • Hàm số nghịch biến trong hai khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    \(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}< 0,\forall x\in\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\) nên A, C, D đúng, C sai.
    Chú ý: các em học sinh có thể ghi nhớ công thức tính nhanh đạo hàm sau đây \((\dfrac{ax+b}{cx+d})'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\).
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{x^2+x+2}{x-1}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định sai?
    • Hàm số có tập xác định là \(D=\left(-\infty;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)
    • \(f'\left(x\right)=\dfrac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}\)
    • Hàm số đồng biến trong hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\)
    • Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-1;3\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số không xác định tại \(x=1\in\left(-1;3\right)\) nên khẳng định " Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-1;3\right)\)" là sai.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\).
    • Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\).
    • Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;+\infty\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\). Đạo hàm dương trong hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\). Hàm số đồng biến trên khoảng
    \(\left(-\infty;-1\right)\).
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y=\left(m^2-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-x+4\) nghịch biến trong khoảng
    \(\left(-\infty;+\infty\right)\)?
    • 2.
    • 1.
    • 0.
    • 3.
    Hướng dẫn giải:

    Ta có: \(y'=3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1\)
    \(\bullet\) Nếu \(m=1\) thì \(y'=-1\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\).
    \(\bullet\) Nếu \(m=-1\) thì \(y'=-4x-1\), \(y'< 0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}\). Hàm số nghịch biến trong \(\left(-\dfrac{1}{4};+\infty\right)\), đồng biến trong khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{4}\right)\).
    Nếu \(m\ne\pm1\)thì \(y'\)là một tam thức bậc hai với hệ số bậc hai là \(3\left(m^2-1\right)\), biệt số \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\). Hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) khi và cỉ khi
    \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(m^2-1\right)< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
    Bất phương trình \(3\left(m^2-1\right)< 0\Leftrightarrow m\in\left(-1;1\right)\). Bất phương trình này chỉ có một nghiệm nguyên \(m=0\). Khi \(m=0\) thì \(\Delta'=\left(0-1\right)^2+3\left(0^2-1\right)=-2< 0\)(thỏa mãn). Vậy \(m=0\)
    Kết hợp cả 2 trường hợp ta thấy có hai số nguyên m thỏa mãn
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới:
    01.jpg
    Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
    1. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\)
    2. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$
    3. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$
    4. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    Từ bảng xét dấu đã cho ta suy ra:
    + Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\).
    + Hàm số nghịch biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).
    Vậy mệnh đề đúng là : Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số $y = \sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)
    • Hàm số đồng biến trên khoảng \left( { - \infty ;0} \right)
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( { - 1;1} \right)
    • Hàm số đồng biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(y=\sqrt{2x^2+1}\) suy ra \(y'=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\) luôn cùng dấu với \(x\). Vì vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
    nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;0\right)\). Vì vậy mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề đã nêu là : Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y = \frac{{m{\rm{x}} + 4m}}{{x + m}}\) với ? là tham số. Gọi ? là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của ? để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của ?.
    • Vô số
    • 4
    • 5
    • 3
    Hướng dẫn giải:

    \(y' = \frac{{{m^2} - 4m}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
    Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \(\Leftrightarrow {m^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\)
    Suy ra giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 1; 2; 3
    Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.