Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}\) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) Hàm số luôn luôn nghịch biến Hàm số nghịch biến trong hai khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: \(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}< 0,\forall x\in\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\) nên A, C, D đúng, C sai. Chú ý: các em học sinh có thể ghi nhớ công thức tính nhanh đạo hàm sau đây \((\dfrac{ax+b}{cx+d})'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{x^2+x+2}{x-1}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định sai? Hàm số có tập xác định là \(D=\left(-\infty;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) \(f'\left(x\right)=\dfrac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}\) Hàm số đồng biến trong hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-1;3\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số không xác định tại \(x=1\in\left(-1;3\right)\) nên khẳng định " Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-1;3\right)\)" là sai.
Hỏi hàm số \(y=2x^4+1\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây: \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\) \(\left(0;+\infty\right)\) \(\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) Hướng dẫn giải: Có \(f'\left(x\right)=8x^3>0\Leftrightarrow x>0\Leftrightarrow x\in\left(0;+\infty\right)\). Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).
Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\). Đạo hàm dương trong hai khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)? \(y=3x^3+3x-2\). \(y=2x^3-5x+1\). \(y=x^4+3x^2\). \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\). Hướng dẫn giải: \(y=3x^3+3x-2\) có \(y'=9x^2+3>0,\forall x\in\left(-\infty;+\infty\right)\) nên hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)
Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y=\left(m^2-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-x+4\) nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)? 2. 1. 0. 3. Hướng dẫn giải: Ta có: \(y'=3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1\) \(\bullet\) Nếu \(m=1\) thì \(y'=-1\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\). \(\bullet\) Nếu \(m=-1\) thì \(y'=-4x-1\), \(y'< 0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}\). Hàm số nghịch biến trong \(\left(-\dfrac{1}{4};+\infty\right)\), đồng biến trong khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{4}\right)\). Nếu \(m\ne\pm1\)thì \(y'\)là một tam thức bậc hai với hệ số bậc hai là \(3\left(m^2-1\right)\), biệt số \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\). Hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) khi và cỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(m^2-1\right)< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)< 0\end{matrix}\right.\) Bất phương trình \(3\left(m^2-1\right)< 0\Leftrightarrow m\in\left(-1;1\right)\). Bất phương trình này chỉ có một nghiệm nguyên \(m=0\). Khi \(m=0\) thì \(\Delta'=\left(0-1\right)^2+3\left(0^2-1\right)=-2< 0\)(thỏa mãn). Vậy \(m=0\) Kết hợp cả 2 trường hợp ta thấy có hai số nguyên m thỏa mãn
Hàm số \(y=\dfrac{2}{x^2+1}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? \(\left(0;+\infty\right)\). \(\left(-1;1\right)\). \(\left(-\infty;+\infty\right)\). \(\left(-\infty;0\right)\). Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đạo hàm \(\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) ta có \(y'=-\dfrac{2.2x}{x^4}=-\dfrac{4x}{x^4}\) ; \(y'< 0\Leftrightarrow x\in\left(0;+\infty\right)\). Hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).
Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới: Mệnh đề nào dưới đây đúng ? Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) Hướng dẫn giải: Từ bảng xét dấu đã cho ta suy ra: + Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\). + Hàm số nghịch biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\). Vậy mệnh đề đúng là : Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
Cho hàm số $y = \sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right) Hàm số đồng biến trên khoảng \left( { - \infty ;0} \right) Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( { - 1;1} \right) Hàm số đồng biến trên khoảng \left( {0; + \infty } \right) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\sqrt{2x^2+1}\) suy ra \(y'=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\) luôn cùng dấu với \(x\). Vì vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) nghịch biến trong khoảng \(\left(-\infty;0\right)\). Vì vậy mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề đã nêu là : Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
Cho hàm số \(y = \frac{{m{\rm{x}} + 4m}}{{x + m}}\) với ? là tham số. Gọi ? là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của ? để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của ?. Vô số 4 5 3 Hướng dẫn giải: \(y' = \frac{{{m^2} - 4m}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \(\Leftrightarrow {m^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\) Suy ra giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 1; 2; 3 Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.