Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2} \) với ? (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và ? (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? 36 m/s 243 m/s 27 m/s 144 m/s Hướng dẫn giải: \(v=s'=- {t^2} + 12t\) Vậy trong thời gian 9s, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là \({{v}_{\max }} = 36m/s\)
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? \(\left(-2;0\right)\) \(\left(-\infty;-2\right)\) \(\left(0;2\right)\) \(\left(0;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Khi $y' < 0$ thì hàm số nghịch biến, ta thấy mũi tên luôn đi xuống. Vậy trong ba khoảng trên chỉ có khoảng $(-2;0)$ thỏa mãn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=x^3+mx-\dfrac{1}{5x^5}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) 5 3 0 4 Hướng dẫn giải: Cách 1 (tự luận): \(y=x^3+mx-\dfrac{1}{5x^5}\) \(y'=3x^2+m+\dfrac{1.5x^4}{5.x^{10}}=3x^2+m+\dfrac{1}{x^6}\) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) thì \(y'\ge0\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) Ta có \(y'=\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)+m\ge0\Leftrightarrow-m\le3x^2+\dfrac{1}{x^6}\forall x>0\) Vậy thì \(-m < \min \limits_{(0;+\infty )} (3x^2+\dfrac{1}{x^6})\)\(-m\le\min\limits_{\left(0;+\infty\right)}\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)\) Ta có \(3x^2+\dfrac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge4\sqrt[4]{x^2.x^2.x^2.\dfrac{1}{x^6}}=4\) \(\Leftrightarrow m\ge-4\) Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn điều kiện đề bài gồm -4; -3; -2; -1. Cách 2 (casio): Cần tìm m để \(y'=\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)+m\ge0\Leftrightarrow m\ge-3x^2-\dfrac{1}{x^6},\)\(\forall x>0\) Sử dụng MODE TABLE, lập bảng cho hàm \(f\left(x\right)=-3x^2-\dfrac{1}{x^6}\) với Start = 0; End = 19; Step =1. Xem bảng nhận được ta thấy \(f\left(x\right)\)có GTLN = -4. Vậy \(m\ge-4\) ( và nguyên không âm). Do đó \(m=-1;-2;-3;-4\). Đáp số đúng là 4.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^3-3x+m\right|\) trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là: 1 2 0 6 Hướng dẫn giải: Xét hàm số \(y=x^3-3x+m\left(x\in\left[0;2\right]\right)\) \(y'=3x^2-3;y'=0\Leftrightarrow x=\pm1\) Ta có bảng biến thiên: Để hàm số có trị lớn nhất là 3 thì \(y\left(x\right)=\max\left\{\left|m-2\right|;\left|m+2\right|\right\}\) Hay \(\left[{}\begin{matrix}\left|m-2\right|=3\\\left|m+2\right|=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\\m=1\\m=-5\end{matrix}\right.\) Với m = 5, ta có \(\max\left\{3;7\right\}=7\left(l\right)\) Với m = -1, ta có \(\max\left\{3;1\right\}=3\left(tm\right)\) \(\max\left\{3;7\right\}=7\left(l\right)\) Với m = 1, ta có \(\max\left\{-1;3\right\}=3\left(tm\right)\) Với m = -5, ta có \(\max\left\{7;-3\right\}=7\left(l\right)\) Vậy S = {-1; 1} hay S có hai phần tử.
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\). Hàm số \(y=f'\left(x\right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(y=f\left(2-x\right)\) đồng biến trên khoảng: \(\left(1;3\right)\) \(\left(2;+\infty\right)\) \(\left(-2;1\right)\) \(\left(-\infty;-2\right)\) Hướng dẫn giải: Ta thấy hàm số \(\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow-1\le x\le1\vee x\ge4\\f'\left(x\right)< 0\Leftrightarrow x< -1\vee1< x< 4\end{matrix}\right.\) \(\left(f\left(2-x\right)\right)'=-f'\left(2-x\right)\) Để hàm số \(y=f\left(2-x\right)\) đồng biến thì \(f\left(2-x\right)'>0\Rightarrow-f'\left(2-x\right)>0\Leftrightarrow f'\left(2-x\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-x< -1\\1< 2-x< 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\-2< x< 1\end{matrix}\right.\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? \(\left(-1;0\right)\) \(\left(1;+\infty\right)\) \(\left(0;1\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên ta thấy ngay trong khoảng (0;1), đồ thị hàm số có chiều đi xuống. Vậy nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\dfrac{x+2}{x+5m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-10\right)?\) Vô số 3 2 1 Hướng dẫn giải: \(y=\dfrac{x+2}{x+5m}\) \(y'=\dfrac{5m-2}{\left(x+5m\right)^2}\) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-10\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}5m-2>0\\-5m>-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{5}\\m< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\left\{1;2\right\}\) Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
Cho hai hàm số \(y=f(x);y=g(x).\) Hai hàm số \(y=f'\left(x\right)\) và \(y=g'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y=g'\left(x\right).\) Hàm số \(h\left(x\right)=f\left(x+4\right)-g\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? \(\left(5;\dfrac{31}{5}\right)\) \(\left(6;\dfrac{25}{4}\right)\) \(\left(\dfrac{31}{5};+\infty\right)\) \(\left(\dfrac{9}{4};3\right)\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f\left(2\right)=-\dfrac{2}{9}\) và \(f'\left(x\right)=2x\left[f\left(x\right)\right]^2\) với mọi \(x\in\mathbb{R}.\) Giá trị của \(f\left(1\right)\) bằng \(-\dfrac{35}{36}\) \(-\dfrac{2}{3}\) \(-\dfrac{19}{36}\) \(-\dfrac{2}{15}\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây? \(\left(0;1\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(1;+\infty\right)\) \(\left(-1;0\right)\)
