\(y=\frac{x^2+ax+b}{x+3}\) có đồ thị là (C). Để tại điểm \(A\left(0;-\frac{4}{3}\right)\in\left(C\right)\), tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng \(\frac{10}{9}\), các giá trị của a và b là : \(a=-2;b-4\) \(a=2;b=-4\) \(a=-2;b=-4\) \(a=4;b=-2\) Hướng dẫn giải:
(C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{-x^2+4x}{x-1}\). Từ điểm \(A\left(1;-4\right)\) kẻ được đến (C) một tiếp tuyến duy nhất. Đó là đường thẳng có phương trình : \(y=-4x\) \(y=4x\) \(y=-4x+1\) \(y=4x+1\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{2x^2+\left(1-m\right)x+1+m}{-x+m}\) có đồ thị \(\left(C_m\right),\forall m\ne-1;\left(C_m\right)\) luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Đường thẳng đó có phương trình : \(y=-x-1\) \(y=x-1\) \(y=-x+1\) \(y=x+1\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{x^2-3x+4}{2\left(x-1\right)}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại \(M\left(0;-2\right)\in\left(C\right)\) cắt hai đường tiệm cận (C) tại A và B. Tọa độ của A và B là : \(A\left(1;-\frac{5}{2}\right),B\left(5;-\frac{3}{2}\right)\) \(A\left(1;\frac{5}{2}\right),B\left(5;\frac{3}{2}\right)\) \(A\left(1;\frac{3}{2}\right),B\left(-5;\frac{5}{2}\right)\) \(A\left(1;-2\right),B\left(-5;2\right)\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{-3x^2+mx+\frac{3}{2}}{2x+m}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\). Để tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại \(A\left(0;\frac{3}{2m}\right)\in\left(C_m\right)\) vuông góc với tiệm cận của \(\left(C_m\right)\), giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m=\pm2\) \(m=\pm3\) \(m=\pm\sqrt{2}\) \(m=\pm\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải:
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x^2-3x+3}{-x+1}\). Khi đường thẳng \(y=3x+m\) tiếp xúc (C) thì giá trị thích hợp của \(m\) là : \(-2\) hoặc \(6\) \(2\) hoặc \(-6\) \(-3\) hoặc \(4\) \(3\) hoặc \(-4\) Hướng dẫn giải:
Từ điểm \(M\left(2;-5\right)\) có thể kẻ đến đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{-x^2-x+3}{x+1}\) hai tiếp tuyến phân biệt. Các tiếp điểm của hai tiếp tuyến này với (C) là : \(A\left(1;\frac{1}{2}\right),B\left(-2;-1\right)\) \(A\left(2;-1\right),B\left(-1;9\right)\) \(A\left(0;3\right),B\left(-4;3\right)\) \(A\left(3;-\frac{9}{4}\right),B\left(-3;\frac{3}{2}\right)\) Hướng dẫn giải:
Với \(m\ne0\) và \(m\ne-6\), đồ thị \(\left(C_m\right)\) của hàm số \(y=\frac{-x^2+x-m}{2x+m}\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Để hai tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại A và B vuông góc với nhau, các giá trị thích hợp của \(m\) là : \(3-3\sqrt{3}\) hay \(3+3\sqrt{3}\) \(3-2\sqrt{3}\) hay \(3+2\sqrt{3}\) \(-3-2\sqrt{3}\) hay \(-3+2\sqrt{3}\) \(-3-3\sqrt{2}\) hay \(-3+3\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải:
Đồ thị \(\left(C_m\right)\) của hàm số \(y=\frac{x^2+mx-1}{x+m}\) luôn cắt trục Ox tại hai điểm A và B. Để hai tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại A và B vuông góc với nhau, giá trị cần tìm của \(m\) là : $m = 3$ hay $m = -1$ $m = 1$ hay $m = -3$ $m = 2$ hay $m = -2$ Không có giá trị nào Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\dfrac{-x+2}{x-1}\) có đồ thị (C) và điểm A(a;1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng: \(1\) \(\dfrac{3}{2}\) \(\dfrac{5}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi tiếp điểm của (C) là \(M\left(m;\dfrac{-m+2}{m-1}\right)\) \(\left(m\ne0\right)\) \(y'\left(m\right)=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\) Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua M là \(y=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{-m+2}{m-1}\) (d) Do (d) đi qua A nên \(1=-\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\left(a-m\right)+\dfrac{-m+2}{m-1}\) (*) Ta cần tìm a để phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm mà một nghiệm bằng 1. (*) \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=m-a-m^2+3m-2\) \(\Leftrightarrow m^2-2m+1+m^2-4m+a+2=0\) \(\Leftrightarrow2m^2-6m+a+3=0\) \(\Delta'=3^2-2\left(a+3\right)=3-2a\) TH1: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta'=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\) TH2: Phương trình có hai nghiệm và m = 1 hay \(\left\{{}\begin{matrix}a< \dfrac{3}{2}\\a=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=1\) \(\Rightarrow S=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}\) Vậy tổng giá trị các phần tử của S là: \(1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
