Tổng hợp lý thuyết và bài tập Tương giao hai đồ thị và Biện luận số nghiệm phương trình

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=x^4-4x^2+3\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\left|x^4-4x^2+3\right|=m\)có bốn nghiệm phân biệt.
    • \(m=0;1< m< 3\)
    • \(m=0\)
    • \(\dfrac{1}{3}< m< 1\)
    • \(m=0;\dfrac{1}{3}< m< 1\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y và hàm |y|
    \(y'=4x^3-8x=4x\left(x^2-2\right)=4x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\)
    y' = 0 tại 3 giá trị của x là \(-\sqrt{2};0;\sqrt{2}\). Lập bảng biến thiên của y:
    01.png
    Vẽ đồ thi hàm y, sau đó lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị dưới trục hoành thì ta được hàm |y| như hình vẽ dưới đây.
    02.png
    Để đồ thị hàm số \(y=\left|x^4-4x^2+3\right|\) và đường thẳng \(y=m\) cắt nhau tại 4 điểm thì m = 0 hoặc 1 < m < 3
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm \(m\) để phương trình \(2|x|^3-9x^2+12|x|=m\) có 6 nghiệm phân biệt.
    • \(\text{4< m< 5}\)
    • \(m<4\)
    • \(m>5\)
    • \(m< 4\) hoặc \(m>5\)
    Hướng dẫn giải:

    Trước hết ta khảo sát và sẽ đồ thì hàm số \( y=f(x)=2x^3-9x^2+12x\)
    Ta có: \(y'=6x^2-18x+12 = 6(x^2-3x+2) = 6(x-1)(x-2)\)
    \(y'\) có hai nghiệm là 1 và 2, ta có bảng biến thiên của hàm \(y=f\left(x\right)\) như sau:
    01.png
    Đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) được vẽ như sau:
    02.png
    Sau đó ta vẽ đồ thị hàm số \(y=g(x)=2|x|^3-9x^2+12|x| = f(|x|)\) Ta có:
    \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge0\\f\left(-x\right);x\le0\end{cases}\)
    Vậy đồ thị hàm \(y=g\left(x\right)\) có 2 phần: phần ứng với \(x\ge0 \) sẽ trùng với đồ thị hàm \(y=f\left(x\right)\) và phần ứng với \(x<0\) là phần đối xứng của đồ thị \(y=f\left(x\right)\) qua trục tung.
    Nhìn vào đồ thị ta thấy, để phương trình \(2|x|^3-9x^2+12|x|=m\) có 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y=m\) phải cắt đồ thị \(y=g\left(x\right)\) tại 6 điểm phân biệt. Khi đó 4 < m < 5.
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm \(m\neq 0\) để phương trình \(x^2|x-3|=m+\dfrac{1}{m}\) có 4 nghiệm phân biệt.
    • \(2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\)
    • \(m<2-\sqrt{3}\)
    • \(m>2+\sqrt{3}\)
    • \(m<2-\sqrt{3} ; m>2+\sqrt{3}\)

    Hướng dẫn giải:

    Phương trình đã cho tương đương với:
    $|x^3-3x^2|=m+\dfrac{1}{m}$
    Hay là:
    $g(x)=m+\dfrac{1}{m}$
    Với $g(x)=|x^3-3x^2|$.
    Để vẽ đồ thị hàm $g(x)$, ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2$.
    Ta có: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$
    $f'(x)$ có hai nghiệm là 0 và 2, bảng biến thiên của f(x) như sau:
    01.png
    Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong đồ thị sau:
    02.png
    Khi đó đồ thị hàm $y = g(x) = |x^3-3x^2| là đồ thị suy ra từ f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị f(x) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của f(x) nằm dưới trục hoành. Đồ thị hàm g(x) là đường nét liền trong đồ thị ở trên.
    Nhìn vào đồ thị ta thấy, để phương trình $g(x)=m+\dfrac{1}{m}$ có 4 nghiệm phân biệt thì:
    \(0< m+\frac{1}{m}< 4\)
    \(\Leftrightarrow0< \frac{m^2+1}{m}< 4\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^2+1< 4m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^2-4m+1< 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow2-\sqrt{3}< m< 2+\sqrt{3}\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm \(m\) để phương trình \(\dfrac{x+1}{|x-2|}=m\) có hai nghiệm phân biệt.
    • \(m>1\)
    • \(m< -1\)
    • \(m\geq 1\)
    • \(m\leq -1\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) và \(g\left(x\right)=\frac{x+1}{\left|x-2\right|}\) thì ta có: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\)
    Phương trình đã cho trở thành: \(g\left(x\right)=m\)
    Trước hết ta vẽ đồ thị hàm f(x), g(x).
    Ta có:
    - Miền xác định của f(x) và g(x) là \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)
    - Đạo hàm cùa: \(f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-2\right)^2}< 0\) => Hàm f nghịch biến trên D.
    - Tiệm cận đứng của f(x): x = 2
    - Tiệm cận ngang:
    Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}\) vậy tiệm cận ngang của f(x) là y = 1
    - Bảng biến thiên
    01.png
    - Đồ thị hàm f(x) như sau:
    Đồ thị đi qua các điểm sau \(A\left(-1;0\right)\) ; \(B\left(0;-\frac{1}{2}\right)\); \(C\left(3;4\right)\); \(D\left(4;\frac{5}{2}\right)\)
    Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong hình sau:
    02.png
    Sau khi có đồ thị f(x) ta suy ra đồ thị g(x) như sau:
    Vì \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\) nên với \(x\ge2\) đồ thị g(x) trùng với f(x); với x < 2 thì g(x) là ảnh của f(x) qua phép đối xứng qua trục hoành.
    Vậy đồ thị của g(x) là đường nét liền trong hình trên.
    Để phương trình g(x) = m có hai nghiệm thì $m > 1$
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm \(m\) để phương trình \(\left(x^2-5\right)\left|x^2-1\right|=m\) có 6 nghiệm phân biệt.
    • \(-4< m< 0\)
    • \(m< -5\)
    • \(m>0\)
    • \(-5< m< -4\)
    Hướng dẫn giải:

    Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-5\right)\left(x^2-1\right)=x^4-6x^2+5\)
    \(g\left(x\right)=\left(x^2-5\right)\left|x^2-1\right|\)
    Khi đó: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\le-1;x\ge1\\-f\left(x\right);-1< x< 1\end{cases}\)
    Vẽ đồ thị hàm số f(x) sẽ suy ra được đồ thị hàm g(x).
    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) như sau:
    - Đạo hàm \(f'\left(x\right)=4x^3-12x=4x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)
    - Bảng biến thiên
    01.png
    - Đồ thị hàm số f(x) (đường nét chấm trong hình vẽ dưới)
    02.png
    Đồ thị hàm số g(x) suy ra từ f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị của f(x) trên đoạn [-1; 1], trên các đoạn khác giữ nguyên đồ thị f(x).
    Để phương trình g(x) = m có 6 nghiệm phân biệt thì -4 < m < 0.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Biết rằng đường thẳng \(y=-2x+2\) cắt đồ thị hàm số \(y=x^3+x+2\) tại điểm duy nhất; kí hiệu \(\left(x_0;y_0\right)\) là toạ độ của điểm đó. Tìm \(y_0\) ?
    • \(y_0=4\)
    • \(y_0=0\)
    • \(y_0=2\)
    • \(y_0=-1\)
    Hướng dẫn giải:

    Hoành độ giao điểm \(x_0\) là nghiệm phương trình:
    \(x^3+x+2=-2x+2\)
    \(\Leftrightarrow x\left(x^2+3\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow x=0\)
    Vậy \(x_0=0\), khi đó thay \(x_0\) vào một trong hai hàm số ta tìm được \(y_0\), ta có:
    \(y_0=-2x_0+2=-2.0+2=2\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hỏi đồ thị của hàm số \(y=x^3+2x^2-x+1\) và đồ thị của hàm số \(y=x^2-x+3\) có tất cả bao nhiêu điểm chung ?
    • Không có điểm chung
    • Có 1 điểm chung
    • Có 2 điểm chung
    • Có 3 điểm chung
    Hướng dẫn giải:

    Số điểm chung là số nghiệm của phương trình:
    \(x^3+2x^2-x+1=x^2-x+3\)
    \(\Leftrightarrow x^3+x^2-2=0\)
    \(\Leftrightarrow x^3-1+x^2-1=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2+x+1+x+1\right]=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x^2+2x+1+1\right]=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x+1\right)^2+1\right]=0\)
    \(\Leftrightarrow x=1\)
    Phương trình có 1 nghiệm nên hai đồ thị có 1 điểm chung.
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Biết rằng đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2-x+2\) và đồ thị hàm số \(y=-x^2-x+5\) cắt nhau tại điểm duy nhất, kí hiệu \(\left(x_o;y_o\right)\) là tọa độ của điểm đó. Tìm \(y_o\) ?
    • \(y_o=4\)
    • \(y_o=0\)
    • \(y_o=3\)
    • \(y_o=-1\)
    Hướng dẫn giải:

    Hoành độ \(x_0\) là nghiệm của phương trình:
    \(x^3+x^2-x+2=-x^2-x+5\)
    \(\Leftrightarrow x^3+2x^2-3=0\)
    Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên nó có nghiệm x=1, trong đề bài đã cho biết hai đồ thị có một điểm chung duy nhất nên \(x_0=1\).
    Thay \(x_0=1\) vào một trong hai đồ thị (ví dụ đồ thị thứu hai) ta tìm được:
    \(y_0=-1^2-1+5=3\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên \(R\backslash\left\{-1;1\right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau :
    01.jpg
    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng \(y=2m+1\) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ?
    • \(m\le-2\)
    • \(m\ge1\)
    • \(m\le-2\) hoặc \(m\ge1\)
    • \(m< -2\) hoặc \(m>1\)
    Hướng dẫn giải:

    Dễ nhận thấy đồ thị của hàm số bao gồm 3 đường:
    + Đường thứ nhất ứng với \(x< -1\), đồ thị giảm từ \(-3\) xuống đến \(-\infty\)
    + Đường thứ hai ứng với \(-1< x< 1\), đồ thị giảm tử \(+\infty\) xuống \(-\infty\)
    + Đường thứ ba ứng với \(x>1\), đồ thị giảm từ \(+\infty\) xuống \(3\)
    Vậy để đường thẳng \(y=2m+1\) cắt đồ thị trên tại 2 điểm phân biệt thì:
    \(2m+1>3\) hoặc \(2m+1< -3\)
    Hay là: \(m>1\) hoặc \(m< -2\)