Tổng hợp lý thuyết và bài tập Tương giao hai đồ thị và Biện luận số nghiệm phương trình

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2+m\) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm ?
    • \(m< -\frac{4}{27}\)
    • \(m>0\)
    • \(-\frac{4}{27}< m< 0\)
    • \(m< -\frac{4}{27}\) hoặc \(m>0\)
    Hướng dẫn giải:

    Đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm khi và chỉ khi phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
    \(x^3+x^2+m=0\)
    Hay là phương trình \(x^3+x^2=-m\) có đúng một nghiệm.
    Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2\) rồi xét tương giao với đường thẳng \(y=-m\).
    \(y'=3x^2+2x=x\left(3x+2\right)\)
    Bảng biến thiên:
    01.png
    Đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2\) là:
    02.png
    Để đồ thị \(y=-m\) cắt đồ thị trên tại 1 điểm duy nhất thì:
    \(-m< 0\) hoặc \(-m>\frac{4}{27}\)
    Hay là:
    \(m>0\) hoặc \(m< -\frac{4}{27}\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) tại bốn điểm phân biệt ?
    1. \(-\frac{7}{2}< m< 1\)
    2. \(-\frac{9}{2}< m< 0\)
    3. \(m>-\frac{7}{2}\)
    4. \(-\frac{7}{2}< m\le1\)
    Hướng dẫn giải:

    Hàm số đã cho là hàm chẵn (\(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)), đồ thị đối xứng qua trục tung. Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm chẵn tại 4 điểm thì đường thẳng đó cắt nhánh ứng với x>0 tại hai điểm (chú ý không cắt tại điểm nằm trên trục tung vì như vậy số giao điểm sẽ lẻ). Ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) ứng với \(x\ge0\) như sau:
    Với \(x\ge0\) thì \(y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+1\).
    \(y'=x^2-3x=x\left(x-3\right)\)
    Bảng biến thiên:
    01.png
    Đồ thị:
    02.png
    Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị trên tại 2 điểm thì:
    \(-\frac{7}{2}< m+1< 1\)
    Hay là:
    \(-\frac{9}{2}< m< 0\)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪