Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2+m\) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm ? \(m< -\frac{4}{27}\) \(m>0\) \(-\frac{4}{27}< m< 0\) \(m< -\frac{4}{27}\) hoặc \(m>0\) Hướng dẫn giải: Đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm khi và chỉ khi phương trình sau có đúng 1 nghiệm: \(x^3+x^2+m=0\) Hay là phương trình \(x^3+x^2=-m\) có đúng một nghiệm. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2\) rồi xét tương giao với đường thẳng \(y=-m\). \(y'=3x^2+2x=x\left(3x+2\right)\) Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số \(y=x^3+x^2\) là: Để đồ thị \(y=-m\) cắt đồ thị trên tại 1 điểm duy nhất thì: \(-m< 0\) hoặc \(-m>\frac{4}{27}\) Hay là: \(m>0\) hoặc \(m< -\frac{4}{27}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) tại bốn điểm phân biệt ? \(-\frac{7}{2}< m< 1\) \(-\frac{9}{2}< m< 0\) \(m>-\frac{7}{2}\) \(-\frac{7}{2}< m\le1\) Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho là hàm chẵn (\(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)), đồ thị đối xứng qua trục tung. Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm chẵn tại 4 điểm thì đường thẳng đó cắt nhánh ứng với x>0 tại hai điểm (chú ý không cắt tại điểm nằm trên trục tung vì như vậy số giao điểm sẽ lẻ). Ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) ứng với \(x\ge0\) như sau: Với \(x\ge0\) thì \(y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+1\). \(y'=x^2-3x=x\left(x-3\right)\) Bảng biến thiên: Đồ thị: Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị trên tại 2 điểm thì: \(-\frac{7}{2}< m+1< 1\) Hay là: \(-\frac{9}{2}< m< 0\)
(P) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x^4}{4}-x+2\), (d) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(1;-1\right)\) và có hệ số góc bằng k. Giá trị thích hợp của k để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt là : $k < - 1$ hay $k > 2$ $k < - 2$ hay $k > 1$ $- 1 < k < 2$ $- 2 < k < 1$ Hướng dẫn giải:
(C) là đồ thị của hàm số \(y=x^3-3x^2+2\), (d) là đường thẳng đi qua điểm \(M\left(-1;2\right)\) và có hệ số góc bằng k. Giá trị thích hợp của k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt là : \(k>0;k\ne9\) \(k< 0;k\ne4\) \(k>-4;k\ne0\) \(k< 4;k\ne1\) Hướng dẫn giải:
(H) là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x-4}{x-2}\), còn (d) là đường thẳng \(y=kx-2\). Để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt, hệ số góc k của (d) phải thỏa mãn điều kiện : \(k< -\frac{1}{2}\) hay \(k>2\) \(k< -2\) hay \(k>\frac{1}{2}\) \(\begin{cases}k< \frac{1}{2}\\k\ne0\end{cases}\) hay \(k>\frac{9}{2}\) \(k< -\frac{9}{2}\) hay \(k>-\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \(y=-x+m\) luôn cắt đồ thị \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) tại hai điểm P, Q. Để độ dài đoạn PQ ngắn nhát, giá trị thích hợp cho m là : m = -1 m = 1 m = -2 m = 2 Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y=\left(4-x\right)\left(1-x\right)^2\) có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua giao điểm của (C) với trục Oy và có hệ số góc bằng k. Để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, giá trị thích hợp của k là : \(k< 0\) hay \(k\ne9\) \(k>0\) hay \(k\ne9\) \(k< 1\) hay \(k\ne-4\) \(k>1\) hay \(k\ne3\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{x^3}{3}+\frac{1-m}{2}x^2-mx+\frac{2m}{3}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\). Để \(\left(C_m\right)\) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, điều kiện thích hợp cho tham số \(m\) là : \(m< -4\) hay \(-\frac{1}{7}< m< 0\) hay \(m>1\) \(m< -3\) hay \(-\frac{1}{4}< m< 1\) hay \(m>2\) \(m< -2\) hay \(-\frac{1}{3}< m< \frac{1}{2}\) hay \(m>1\) \(m< -1\) hay \(-\frac{1}{2}< m< 0\) hay \(m>1\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{2x^2-2x-2}{x-1}\) có đồ thị là (C). Để đường thẳng \(y=ax+1\) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (C), tham số a phải thỏa mãn điều kiện sau : a > 1 a < 1 a > 2 a < 2 Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=\frac{-x^2+x+a}{x+a}\) (a là tham số thực). Khi đường thẳng \(y=x-1\) cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt, hệ thức không phụ thuộc a giữa hai tung độ giao điểm \(y_1;y_2\) là : \(y_1.y_2+\left(y_1+y_2\right)-1=0\) \(y_1.y_2-\left(y_1+y_2\right)+1=0\) \(y_1+y_2-y_1.y_2+1=0\) \(y_1+y_2+y_1.y_2+1=0\) Hướng dẫn giải:
