ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI CỦA ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NĂM 2018 Ngày thi: 08/04/2018. Câu 1: Cho $A$ là một ma trận vuông thỏa mãn: $\exists k\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $A^{k}$ là ma trận không. Chứng minh rằng $I+A$ là ma trận khả nghịch. Câu 2: Cho $f(x)$ là đa thức bậc $4$ thỏa mãn: $f(0)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=3,f(3)=32$. Hãy tìm $f(x)$. Câu 3: Cho hàm số: $f(x)=\left\{ \begin{array}{I} x+2x^2sin(\frac{1}{x}) \text{ khi }x\ge 0\\ 0 \text{ khi } x=0\end{array}\right.$. (a) Chứng minh rằng: $f'(0)>0$. (b) Với mỗi $\epsilon$, hàm số $f(x)$ không đơn điệu tăng trên $(-\epsilon,\epsilon)$. Câu 4: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục thỏa mãn: $|f(x)|<|x|,\forall x\ne 0$. Lấy $x_{0}\in \mathbb{R}$ và đặt: $x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),...,x_n=f(x_{n-1})$,... Chứng minh rằng, dãy $(x_n)$ tiến đến $0$. Câu 5: Cho $a,b,c>0$. Hãy tính: $lim_{x\rightarrow 0}(\frac{a^x+b^x+c^x}{3})^{\frac{1}{x}}$.
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TRƯỜNG ĐH GTVT TPHCM Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$ Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước. a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$ b) Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$ Câu 2: a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương: $$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$ b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng: $$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$ Câu 3: Tính các giới hạn sau: a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$ b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$ (trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ ) Câu 4: Cho $f:\left [ -1,1 \right ]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện: $$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$$ Chứng minh rằng tồn tại $c\in \left ( -1,1 \right )$ sao cho $f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm $ f$ thỏa các điều kiện trên sao cho $f^{'''}\left ( x \right )=3,\forall x\in \left [ -1,1 \right ].$ Câu 5: Tính các tích phân sau: a) $J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$ b) $I_{n}=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\in \mathbb{N} \right )$ Câu 6: Cho đa thức $ P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right ).$
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN ĐH BÁCH KHOA HCM MÔN GIẢI TÍCH NĂM 2018 Câu 1: Với giá trị $x \in \mathbb{R}$ nào thì giới hạn $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n} \left ( 1+ x^{3^k} + x^{2.3^k} \right )$ tồn tại hữu hạn? Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ thoả mãn các điều kiện sau: i) $f(1)=a>0$ ii) $f(x+1)=2001(f(x))^2 + f(x), \ \forall x \in [1; + \infty)$ Tìm $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left [ \dfrac{f(1)}{f(2)} + \dfrac{f(2)}{f(3)} + ... + \dfrac{f(n)}{f(n+1)} \right ]$ Câu 3: Cho hàm $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0; + \infty)$, có đạo hàm liên tục trên $(0; + \infty)$ và thoả mãn $f(0)=1; \ \left | f(x) \right | \leq e^{-x}, \forall x \geq 0$. Chứng minh rằng, tồn tại $x_0 > 0$ để $f'\left ( x_0 \right ) = -e^{-x_0}$ Câu 4: Một chất điểm xuất phát từ trạng thái đứng yên, chuyển động trên đường thẳng với gia tốc giảm dần. Khi đi được quãng đường $d$ nó đạt vận tốc $v$. Tìm thời gian chuyển động cực đại. Câu 5: Cho $f(x)$ khả vi liên tục trên $[0;1]$; $f(0)=0; \ f(1)=1$. Chứng minh rằng với mọi $k_1,k_2>0$, $\exists x_1,x_2: \ 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 1$ sao cho $\displaystyle \dfrac{k_1}{f'\left ( x_1 \right )} + \dfrac{k_2}{f'\left ( x_2 \right )} = k_1 + k_2$. Câu 6: Cho $f(x)$ khả vi trên $(a,b)$; $f(a)=0$ và tồn tại $A \geq 0; \ \alpha \geq 1$ sao cho $\left | f'(x) \right | \leq A \left | f(x) \right |^{\alpha}, \ \forall x \in [a,b]$. Chứng minh rằng $f(x) \equiv 0$ trên $[a,b]$. Câu 7: Cho đa thức $P(x)$ thoả mãn điều kiện $P(a) = P(b) = 0$ với $a<b$. Đặt $\displaystyle M = \max_{a \leq x \leq b} \left | P''(x) \right |$. Chứng minh rằng $\displaystyle \left |\int_{a}^{b} P(x) dx \right | \leq \dfrac{1}{12}M(b-a)^3$. Câu 8: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;2]$, có đạo hàm trên $(0;2)$ và thoả mãn $f(0)=f(2)=1, \ \left | f'(x) \right | \leq 1, \ \forall x \in [0;2]$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx >1$. Câu 9: Xét đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(0) = P(1) = 0; \ \displaystyle \int_{0}^{1} \left | P(x) \right | dx = 1$. Chứng minh rằng $\left | P(x) \right | \leq \dfrac{1}{2}, \ \forall x \in [0;1]$. Câu 10: Cho $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ thoả $f(1)-f(0)=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx \geq 1$.
ĐỀ THI CONCOURS SMF JUNIOR 2018 Bài 1. Với $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, ta ký hiệu $$\Gamma_f = \{(x,f(x)), \, x \in [0,1]\} \subset \mathbb{R}^2$$ là đồ thị của nó. Gọi $C \subset \mathbb{R}^2$ là bông tuyết Von Koch. Có tồn tại hay không một dãy các hàm liên tục $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, với $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ và một dãy $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ các phép đẳng cự của mặt phẳng sao cho $$C \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}}T_n(\Gamma_{f_n}) ?$$ Bài 2. Chứng minh rằng với $p,q,r$ là ba số nguyên tố phân biệt tùy ý, phương trình $$x^p + y^q = z^r$$ có nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$. Bài 3. Đầu tiên, bài toán này giới thiệu về hệ động lực độ đo, định lý ergodic Birkhoff, martingale và định lý hội tụ Doob. Cho $(X,\mathcal{B}, \mu)$ là một không gian xác suất và $T: X \to X$ là một ánh xạ đo được và bảo toàn độ đo. Gọi $\mathcal{J}$ là $\sigma$-đại số con của $\mathcal{B}$ gồm các tập $T$-bất biến, nghĩa là $A \in \mathcal{J} \iff T^{-1}(A) = A$. Giả sử $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy giảm các số thực trong $[0,1]$ sao cho $\sum_{n \in \mathbb{N}} p_n = \infty$ và $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập với $(X,\mathcal{B}, \mu)$ sao cho với mỗi $n \in \mathbb{N}$, $\xi_n$ tuân theo luật Bernoulli với tham số $p_n$ (nghĩa là $\mathbb{P}(\xi_n = 1) = p_n = 1 - \mathbb{P}(\xi_n = 0)$. Xét tập hợp ngẫu nhiên $\chi = \{n \in \mathbb{N}: \xi_n = 1\}$. 1. Với $c > 0$, khảo sát sự hội tụ của chuỗi $$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{p_n}{(p_1 + \cdots + p_n)^c}.$$ 2. Chứng minh rằng, với mọi hàm bình phương khả tích $f: X \to \mathbb{R}$, hầu như chắc chắn rằng, với $\mu$-hầu như tất cả $x$, $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{|\chi \cap [1,N]|} \sum_{n \in \chi \cap [1,N]} f(T^n x) = \mathbb{E}(f | \mathcal{J}),$$ và giới hạn này đúng cả theo nghĩa $L^2(\mu)$. Bài 4. Pedro và Dilma chơi một trò chơi như sau trên đĩa đóng đơn vị $B$ của $\mathbb{R}^2$ (theo mê-tríc Euclid). Pedro bắt đầu bằng việc vẽ một điểm $P_1 \in B$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_1$ đi qua $P_1$. Sau đó, Pedro vẽ một điểm $P_2 \in B \cap D_1$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_2$ đi qua $P_2$. Tiếp tục như vậy, ta được dãy điểm $(P_n)_{n \ge 1}$ và dãy đường thẳng $(D_n)_{n \ge 1}$. Nếu dãy $(P_n)_{n \ge 1}$ hội tụ, Dilma là người thắng. Ngược lại, Pedro là người thắng. Có ai trong hai người chơi có chiến thuật để thắng hay không? Nếu có, ai? Bài 5. Cho $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ là một không gian xác suất. Một du động ngẫu nhiên trên $\mathbb{Z}$ là một dãy biến ngẫu nhiên $S = (S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ trong đó $S_0 = 0$ và $$S_n = X_1 + \cdots + X_n$$ với $(X_i)_{i \ge 1}$ là một dãy biến ngẫu nhiên với giá trị nguyên, độc lập và cùng luật, định nghĩa trên $(\Omega, \mathcal{F})$. Du động ngẫu nhiên được gọi là đối xứng nếu với mọi $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n)$. Có thể chứng minh được rằng, với mọi du động ngẫu nhiên, - hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên đi qua $0$ vô hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là recurrent) - hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên chỉ đi qua mỗi điểm của $\mathbb{Z}$ một số hữu hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là transient). Chúng ta thừa nhân một tiêu chuẩn giải tích của Chung và Fuchs về tính recurrent/transient của một du động ngẫu nhiên, dựa vào luật của $X_1$: $$\text{S là transient} \iff \Re\left(\int_0^1\frac{dy}{1 - \mathbb{E}[e^{iyX_1}]} \right) < +\infty.$$ Khi du động ngẫu nhiên là đối xứng, tiêu chuẩn trên trở thành: $$\text{S là transient} \iff \int_0^1 \left(\sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X_1 = n)(1 - \cos (yn)) \right)^{-1} < +\infty.$$ 1. Giả sử $X_1$ có kỳ vọng. Chứng minh rằng $S$ là recurrent khi và chỉ khi $\mathbb{E} X_1 = 0$. 2. Giả sử $\alpha, c$ là các số dương sao cho khi $n \to +\infty$, ta có $$\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n) \sim \frac{c}{n^{1 + \alpha}}.$$ Với giá trị nào của $\alpha$ thì $S$ là recurrent? 3. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên transient $S$ và $S'$ độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent? Trong trường hợp $S$ và $S'$ là đối xứng, liệu có tồn tại hay không? 4. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên recurrent $S$ và $S'$, đối xứng, độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent? Bài 6. Xét một giọt mực hình cầu (trong 2 chiều: hình tròn) ngâm trong một chất lỏng. Chất lỏng đang chuyển động với vận tốc đã biết: Trường vân tốc là trường dừng (không phụ thuộc vào thời gian) và chính quy (không suy biến) theo biến không gian. Giả sử chất lỏng được chứa trong một vật chứa bị chặn và vận tốc của chất lỏng trên (thành của) vật chứa này bằng 0. Chất lỏng di chuyển và làm biến dạng giọt mực (bỏ qua sự khuếch tán và trọng lực). Mục tiêu của bài toán này là mô tả định tính và định lượng các đặc điểm của giọt mực theo thời gian. 1. Chứng minh rằng giọt mực không bao giờ chạm vào (thành của) vật chứa. 2. Tính liên thông của giọt mực có được bảo toàn theo thời gian không? Tính đơn liên thì sao? 3. Thể tích (trong 2 chiều: diện tích) của giọt mực thay đổi theo thời gian như thế nào? 4. Tìm một trường vân tốc sao cho giọt mực mất tính lồi sau một thời gian nhất định. 5. Chứng minh rằng, trong hai chiều, giọt mực giữ được tính lồi trong một khoảng thời gian đủ nhỏ. Xác định thời điểm giọt mực bắt đầu mất tính lồi như một hàm của trường vận tốc. 6. Tính com-pắc, tính trơn của biên, ... được bảo toàn bởi trường vân tốc. Tìm một (vài) trường vận tốc sao cho khi thời gian đủ dài, giọt mực hội tụ đến một hình dạng mà không còn một (vài) tính chất như trên nữa. Bài 7. Tồn tại hay không một độ đo xác suất trên mặt phẳng sao cho: Nếu chọn ba điểm trên mặt phẳng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau, xác suất để ta thu được một tam giác nhọn là lớn hơn $\frac{1}{2}$. Bài 8. Một đa thức bậc $P$ với bậc $n$ được gọi là phản đối xứng nếu $P(-X) = X^n P(\tfrac{1}{X})$. Chứng minh rằng, một đa thức phản đối xứng với hệ số nguyên lẻ không thể có nghiệm trên đường tròn đơn vị của $\mathbb{C}$. Bài 9. Cho $A$ là một tập hợp hữu hạn. Một từ hữu hạn trên bảng chữ cái $A$ là một dãy $u = (u_n)_{1 \le n \le \ell}$ các phần tử của $A$, mà ta sẽ viết đơn giản là $u = u_1\ldots u_{\ell}$. Số nguyên $\ell$ được gọi là độ dài của $u$, ký hiệu bởi $|u|$. Một từ vô hạn trên $A$ là một dãy $\mathbf{a} = (a_n)_{n \ge 1}$ các phần tử của $A$. Một từ hữu hạn $u$ là một từ con của một từ (hữu hạn hặc vô hạn) $v$ nếu tồn tại số nguyên $j$ sao cho $u = v_j \ldots v_{j + |u|-1}$. Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là có độ hụt bị chặn nếu với mọi từ con $u$ của $\mathbf{a}$, tồn tại số nguyên $\ell$ sao cho mọi từ con $v$ của $\mathbf{a}$ với độ dài $\ell$ đều chứa $u$ như một từ con. Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là một $T$-từ nếu nó thỏa mãn tính chất sau đây. $$\forall n \in \mathbb{N}, \exists p \in \mathbb{N} - \{0\},\forall k \in \mathbb{N}, a_{n + kp} = a_n.$$ Cho $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là hai từ vô hạn lần lượt trên các bảng chữ cái $A$ và $B$. Tích $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ của chúng được định nghĩa là từ $\mathbf{c} = (c_n)_{n \ge 1}$ trên bảng chữ cái $A \times B$ với $c_n = (a_n,b_n)$. 1. Chứng minh rằng mọi $T$-từ đều có độ hụt bị chặn. 2. Cho $\mathbf{d} = (d_n)_{n \ge 1}$ là từ vô hạn được cho bởi $$d_n = \begin{cases} 1, & \text{nếu } s_2(n) \neq s_2(n+1) \pmod 2 \\ 0, & \text{nếu ngược lại}\end{cases}$$ với $s_2(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong biểu diễn nhị phân. Chứng minh rằng $\mathbf{d}$ là một $T$-từ. 3. Chứng minh rằng nếu $\mathbf{a}$ là một $T$-từ trên $A$ và $\mathbf{b}$ là một từ vô hạn có độ hụt bị chặn trên $B$ thì $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ là có độ hụt bị chặn. Bài 10. Tồn tại hay không một bộ hữu hạn các điểm được tô màu đen và trắng trên mặt phẳng thỏa mãn cả hai tính chất sau đây hay không? 1. Với mọi điểm đen, có đúng 10 điểm trắng cách nó 1 đơn vị độ dài. 2. Số điểm đen nhiều hơn số điểm trắng.
Đề Olympic Toán sinh viên HV PK-KQ Vòng 2 năm 2017 Câu 1: Cho dãy số $\{a_n\}$ xác định như sau $$0<a_n< 1,\ a_n(1-a_{n+1})\geq \frac{1}{4},\ n \in \mathbb{N}.$$ Chứng minh dãy số đã cho hội tụ và tìm giới hạn của nó. Câu 2: Giả sử $f \in C([0,2])$. Chứng minh rằng tồn tại $x_1$ và $x_2$ trong $[0,2]$ sao cho $x_2 -x_1 =1$ và $f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{2} (f(2)-f(0))$. Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+1)+f(x-1) =\sqrt{2} f(x).$$ Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ là hàm tuần hoàn và tìm chu kỳ của nó. Câu 4: Với giá trị nào của $x$ thì thích phân sau đây đạt giá trị cực tiểu $$\int_x^{x^2} \frac{1}{t} \ln \frac{t-1}{32}dt.$$ Câu 5: Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau $$x_{n+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4} \cos x_n.$$ Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ và tìm giới hạn này. Câu 6: Cho đa thức $P(x)$ bậc 2017 và có đúng 2017 nghiệm thực phân biệt khác 0. Chứng minh rằng phương trình $(x+1)P(x) + xP'(x) =0$ cũng có ít nhất 2017 nghiệm thực.
Đề Olympic Toán sinh viên HV PK-KQ Vòng 1 năm 2017 Câu 1: Cho $a$ là một số cố định và định nghĩa $\{a_n\}$ như sau ${a_1} \in \mathbb{R}, {a_{n + 1}} = a_n^2 + (1 - 2a){a_n} + {a^2}$ Xác định $a_1$ để dãy số trên hội tụ và trong trường hợp nó hội tụ, tìm giới hạn của dãy số. Câu 2: Cho $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, liên tục, thỏa mãn điều kiện $f(f(x))=-x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $f(x)\leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Câu 3: Cho $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ khả vi hai lần sao cho mọi $x \in [0,1]$ thì $f''(x) \leq 1$. Chứng minh rằng $f(0) - 2f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f(1) \le \frac{1}{4}.$ Câu 4: Tính giới hạn sau đây $$\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1^{2016} + 2^{2016} + .... + n^{2016}}{n^{2017}}.$$ Câu 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện \[f(xf(y) + x) = xy + f(x),\forall x,y \in \mathbb{R}.\] Câu 6: Cho hàm số $$f(x)= \begin{cases} 0 & \quad x \in \mathbb{I}\\ 1 & \quad x \in \mathbb{Q}, \end{cases}$$ ở đây $\mathbb{I}$ là tập các số vô tỉ. Hỏi có tồn tại hay không tích phân $\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$.
Olympic Toán Giải tích Học viện KTQS vòng 2 năm 2011 Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\exists c \in [0,1]$, $f(c)= f\left( \dfrac{cn+1}{n}\right)$. Câu 2: Cho dãy $\{\varepsilon\}$ là dãy số gồm các phần tử nhận một trong ba giá trị $-1,0,1$. Chứng minh công thức sau: $\varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2\dots \varepsilon_n}{2^{k-1}}\right)$, $n \in \mathbb{N}$. Từ đó suy ra giới hạn của dãy số sau $a_n = \varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}$. Câu 3: Tìm $x$ để giới hạn sau tồn tại và tính giới hạn đấy $\lim\limits_{n \to \infty} \prod\limits_{k=0}^n \left(1 + \dfrac{2}{x^{2^k}+x^{-2^k}} \right)$. Câu 4: Giả sử rằng $\{a_n\}$ hội tụ tới 1. Tính giới hạn sau đây với số tự nhiên $p\geq 2$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[p]{1+a_n}-1}{a_n}$ Câu 5: a. Chứng minh rằng nếu dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=a$ thì ta cũng có $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}=a.$ b. Chứng minh rằng $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 -\sin^2 x}{x^2\sin^2 x} = \dfrac{1}{3}$. c. Sử dụng kết quả trên chứng minh dãy số $\{a_n\}$ cho bởi $0<a_1< \pi, a_{n+1} =\sin a_n$ thỏa mãn $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n =\sqrt{3}.$ Câu 6: Cho dãy số bởi công thức truy hồi $a_1=0, a_{n+1} = 1-\sin (a_n-1)$. Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k$.
Đề thi Olympic toán sinh viên ĐH Xây dựng Hà nội năm 2014 MÔN GIẢI TÍCH Bài 1: Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn điều kiện: ${x_0} = 1;{x_{n + 1}} = {x_n} - \frac{{x_n^2}}{{2014}}$. a) Chứng minh: ${x_{2014}} < \frac{1}{2}$ b) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 2: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;2014)$ và thỏa mãn điều kiện: $$\int\limits_x^{2014} {f(t)dt \ge \frac{{1 + {x^2}}}{2}}$$ Chứng minh rằng: $\int\limits_0^{2014} {{f^2}(t)dt \ge 2014}$ Bài 3: Chứng minh rằng: Không tồn tại $f(x)$ là hàm số dương, liên tục trên $[0, + \infty )$ và thỏa mãn điều kiện: $f'(x) \ge f(f(x))$. Bài 4: Cho $f(x)$ là hàm số khả vi liên tục đến cấp 3 trên $[0;1]$ . Giả sử: $f(0) = f'(0) = f'(1) = f''(0) = f''(1) = 0$ và $f(1) = 1$. Chứng minh rằng: tồn tại $c \in (0;1)$ sao cho $f'''\left( c \right) \ge 24$. MÔN ĐẠI SỐ Bài 1: Tính định thức $$\Delta _{n + 1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & { - 1} & 0 & {...} & 0 \\ x & h & { - 1} & {...} & 0 \\ {{x^2}} & {hx} & h & { - 1} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & \ddots & \vdots \\ {{x^n}} & {{x^{n - 1}}} & {{x^{n - 2}}} & {...} & h \\ \end{array}} \right|$$ Bài 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn: $rank (AB-BA)=1$. Chứng minh rằng: $(AB - BA)^2 = 0$. Bài 3: Chứng minh rằng hệ các vector $\left \{ \sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x,...,\sin nx, \cos nx,... \right \}$ là độc lập tuyến tính trong không gian vecto các hàm liên tục trên đoạn $[0,2\pi ]$. Bài 4: Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực bậc $n$ có đủ $n$ nghiệm thực. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ $$ n{(P'(x))^2} \ge (n - 1)P''(x)P(x)$$.
Đề Olympic Toán sinh viên HV PK-KQ Câu 1:(1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x-y)f(x) +h(x) -xy+y^2 \leq h(y) \leq (x-y)g(x) + h(x) -xy +y^2, \forall x,y \in \mathbb{R}$ Câu 2: (2,5 điểm) Tính tích phân $\int\limits_0^{2\pi} \sin (2015x +\sin x)dx$. Câu 3: (1,5 điểm) Cho $a_0 \neq 0$, $a_1, a_2, \dots, a_n$; $m>0$ $(n \in \mathbb{N}^*)$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\dfrac{a_0}{m+n}+\dfrac{a_1}{m+n-1}+\dots +\dfrac{a_{n-1}}{m+1}+\dfrac{a_n}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $x_0x^n +a_1x^{n-1} +\dots + a_{n-1}x+a_0 =0$ có nghiệm $x\in (0,1)$. Câu 4: (1,0 điểm) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n$, luôn tồn tại $c \in [0,1]$ sao cho $f(c)=f\left(c+\dfrac{1}{c}\right)$. Câu 5: (1,5 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \sqrt{u_n^2 +\dfrac{1}{4^n}}\right)$. Chứng minh rằng $u_n = \dfrac{1}{2^n}\cot \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$. Câu 6: (1,5 điểm) Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\left( \sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\dots + \sin \dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)$. Câu 7:(1,5 điểm) Cho $f$ là hàm số liên tục trên $[0, +\infty)$ thỏa mãn điều kiện $\int_0^x f^2(t)dt \leq \frac{x^3}{3}, \quad \forall x \geq 0.$ Chứng minh rằng $\int\limits_0^x f(t)dt \leq \dfrac{x^2}{2}$ với mọi $x \geq 0$.
Đề thi Olympic Toán Sinh viên môn Đại số ĐH GTVT năm 2015 Bài 1. Tính định thức $$ D=\left| \begin{matrix} 1&n&n&\ldots &n\cr n&2&n&\ldots & n\cr n&n&3&\ldots &n\cr \vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr n& n& n&\ldots &n\cr\end{matrix}\right|$$ Bài 2. Cho ma trận vuông $A=\left(\begin{matrix} 2015 & - 2014 \cr 2014 & -2013 \cr\end{matrix}\right)$. Hãy xác định số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại ma trận vuông cấp hai $X$ với các phần tử nguyên để $$ X^{2015}+X^n=2A. $$ Bài 3. Cho $A$ là ma trận thực cỡ $6\times 2$ và $B$ là ma trận thực cỡ $2\times 6$ sao cho $$ AB= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0&1&4&3\\ 1&2&-3&-1&5&3\\ 2&-1&4&3&0&1\\1&-2&5&3&-3&-1\\ -1&2&-5&-3&3&1\\ 6&0&6&6&6&6\end{array}} \right). $$ Hãy chứng minh rằng $$ BA= \left(\begin{matrix} 10 & 0 \cr 0 & 10 \cr\end{matrix}\right)$$ Bài 4. Trên bảng đen ban đầu người ta cho sẵn ma trận $A_0=\left(\begin{matrix} 2 & -1 \cr 1 &0 \cr\end{matrix}\right)$. Sau đó một sinh viên được yêu cầu viết thêm lên bảng $10$ ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ đều có các phần tử nguyên sao cho $A_kA_0=A_0A_k, A_k^2\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$. \sn a) Hãy chỉ ra rằng sinh viên đó có thể lựa chọn các ma trận theo đúng yêu cầu trên sao cho chúng cũng thỏa mãn đẳng thức: $$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right).$$ b) Sinh viên đó có thể lựa chọn được các ma trận như thế để đẳng thức sau $$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)$$ cũng xảy ra hay không? Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.
