Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014 MÔN GIẢI TÍCH Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn: $$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$ Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho: $$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$. Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: $$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$ Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$ Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng: Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$ Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng: $$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$ MÔN ĐẠI SỐ Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau: $x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$ a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$. b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$. Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh. a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$. b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh. c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$. Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$ a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$. b) Tìm $BA$ Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng: $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$. Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng: $$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$
Đề thi Olympic toán học sinh viên 2012 Đại Học BK Hà Nội Câu 1: Cho $x_n=\underbrace{\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}}_{n lần} $ . Tìm giới hạn $\lim\limits_{n\to\infty}{6^n(2-x_n)}$. Câu 2: Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\forall x_0\in \mathbb{R}$, tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=g(x_0)$. Liệu hàm $g(x)$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ không? Câu 3: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(2x+1)=f(x)+5x \forall x \in \mathbb{R}$. Câu 4: Cho $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ và khả vi hai lần trên $(0;1)$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=0$ và $\min\limits_{x\in [0;1]}{f(x)} = -1 $. Chứng minh rằng $\max\limits_{x\in [0,1]}{f''(x)}\geq 8$. Câu 5: Cho hàm $f$ khả vi và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng: $|f(\frac{1}{2})|\leq \int\limits_{0}^{1}{|f(x)|dx}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{|f'(x)|dx}$ Câu 6: Cho $f(x)$ khả vi hai lần trên đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (0,1)$ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(0)+\frac{1}{2}f'(0)+\frac{1}{6}f''( c )$.
Đề thi Olympic Toán Sinh viên ĐH Bách Khoa HN năm 2016 môn Giải tích Câu 1: Cho dãy hàm số $f_{n}(x)$ xác định bởi: $$\left\{\begin{matrix}f_{1}(x)=4x^3-3x\\ f_{n+1}(x)=f_{1}(f_{n}(x))\end{matrix}\right.$$ Tính giới hạn : $\lim_{n \to \infty }\int_{-1}^{1}(f_{n}(x))^2dx$ Câu 2: CMR: $0<\int_{0}^{+\infty }\frac{x}{e^x-1}dx - \sum_{n=1}^{2016}\frac{1}{n^2}<\frac{1}{2016}$ Câu 3: Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ khả vi ba lần. CMR tồn tại $\xi\in (-1;1)$ thỏa mãn: $$\frac{f^{'''}(\xi)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$$ Câu 4: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn: $$3f(2x+1)=f(x)+5x$$ Câu 5: Tìm hàm số f có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn: $f(0)=f(1)=0$,$f'(0)=1$ sao cho $\int_{0}^{1}\left | f"(x) \right |^2dx$ đại giá trị nhỏ nhất. Câu 6: CMR với mọi $x\geq 0$ phương trình $z^3+xz=8$ xác định duy nhất hàm số thực z(x). Tính $I=\int_{0}^{7}z^2(x)dx$
Đề thi Olympic Toán Sinh viên ĐHBKHN 2016 môn Đại số Câu 1 (2đ): Cho các số phức $\alpha _{k}=cos\frac{k2\pi }{2016}+isin\frac{k2\pi }{2016}$, $k=0,1,2,...,2015$. Tính giá trị của biểu thức: $A=\sum_{k=0}^{2015}\frac{1}{2+\alpha _{k}}$ Câu 2 (2đ): Tính định thức của ma trận $A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{2016x2016}$, trong đó: $a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 2, \forall i=j\\ 1, \forall |i - j|=1\\ 0, \forall |i - j|>1 \end{matrix}\right.$ Câu 3 (2đ): Cho $A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{mxn}$ là một ma trận có hạng bằng $m$. Chứng minh tồn tại ma trận $B=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{nxm}$ sao cho $AB=I_{m}$ (trong đó $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$) Câu 4 (2đ): Kí hiệu $P_{2}[x]$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn bằng $2$. Cho toán tử tuyến tính: $f:P_{2}[x]\rightarrow P_{2}[x]$ xác định bởi: $f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(-5a_{0}+4a_{1}-a_{2})+(-2a_{0}+a_{1}+a_{2})x+(10a_{0}-10a_{1}+6a_{2})x^{2}$ Xác định vecto: $f^{2016}(3+6x+7x^{2})$, trong đó $f^{2016}=fofo...of$ Câu 5 (2đ): Có bao nhiêu bộ có thứ tự $(n_{1},n_{2},n_{3})$ các số tự nhiên thỏa mãn: $n_{1}>1,n_{2}>2,n_{3}>3$ và $n_{1}+n_{2}+n_{3}=2016$
Đề thi Olympic Giải Tích Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015 Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$ Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}$$ Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x$$ Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$ Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0$$ Tìm $f(x)$ Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$
Đề thi Olympic Toán Sinh viên ĐH GTVT TP. HCM năm 2015 Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ a) Tính $A^{2015}$. b) Chứng minh rằng tập $W=\left \{ B \in M_3[\mathbb{R}]:AB=BA \right \}$, (trong đó $M_3[\mathbb{R}]$ là tập các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực) là một không gian véc tơ con của $M_3[\mathbb{R}]$. Tìm một cơ sở và số chiều của $W$. Câu 3: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -a-1 & a & a+1\\ -a & a & a+1 \end{pmatrix}\in M_3[\mathbb{R}]$, với $a\in \mathbb{R}$ tùy ý. a) Chứng tỏ rằng $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$. Chỉ ra một ma trận làm chéo hóa $A$. b) Áp dụng kết quả câu a), hãy tính $A^{100}$. Câu 4: Cho $A$, $B$ là hai ma trận vuông khả nghịch trong $M_n[\mathbb{R}]$, $n \geq 2$, thỏa phương trình $AB+BA=O$. a) Chứng minh $n$ là số nguyên chẵn. b) Cho ví dụ cụ thể với $n=2$. Câu 5: Cho ánh xạ $f:\mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ xác định bởi $$f(P(x))=(x+1)(x+3)P'(x)-xP(x)$$ với mọi $P(x)\in \mathbb{R}[x]$. Trong đó $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thực có hệ số thực. a) Chứng minh rằng $f$ là ánh xạ tuyến tinh trên $\mathbb{R}[x]$. b) Chứng minh rằng các véc tơ riêng của $f$ đều là các đa thức bậc 1. Từ đó hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của $f$. Câu 6: Cho $K=\left \{ x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{Z}^3:i=1,...,9 \right \}$ là tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có tọa độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm $K$ có tọa độ nguyên.
Đề thi OLP toán sinh viên cấp trường đh Kinh tế quốc dân 2013 Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$ ; $u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}}$ $\forall n=1,2,...$ Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$ Câu 2: Cho f : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1 Đặt $f_{k}= \overset{\underbrace{f\circ f\circ f\circ ...\circ f}}{k}$ Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x\epsilon [0,1]$ Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x\epsilon [0,1]$ Câu 3: Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng $f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x\epsilon \mathbb{R}$ Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$ Câu 5: a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$ b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện $f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ Chứng minh rằng $f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$ Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương $\alpha$ và $c\epsilon (a,b)$ sao cho $f( c)+f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)(c+\frac{n}{2}\alpha )$
Đề thi Olympic toán sinh viên 2013 ĐHSP HCM môn Giải tích Câu 1: Cho $|q|<1$ và $\lim_{n\to +\infty} \epsilon_n=0$. Giả sử dãy $(a_n)$ không âm và thoả $a_{n+1} \le qa_n +\epsilon_n \;, \forall n \in \mathbb{N}$. Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} a_n =0$ Câu 2: Giả sử hai dãy $(a_n),(b_n)$ thoả các điều kiện sau: i) $\frac{5}{12} \le a_n+b_n \le \frac{11}{12} $ ii) $a_{n+1}=a_n^2+2b_n(1-a_n-b_n)$ iii) $b_{n+1}=b_n^2+2a_n(1-a_n-b_n)$ Tìm $\lim_{n \to +\infty}a_n $, $ \lim_{n \to +\infty} b_n $ Câu 3: Cho $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực thoả mãn: $P\left[ e^x+xQ(x)+x^2Q^2(x) \right] =Q \left[ e^x+xP(x)+x^2P^2(x) \right] \;, \forall x \in \mathbb{R} $ Chứng minh $P \equiv Q$ Câu 4: Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a,b)$ và $f'(x) \neq 0 \;, \forall x \in (a,b)$. Chứng minh rằng $\exists c \in (a,b) ;\; \dfrac{2}{a-c}<f'( c ) \cot (f ( c)) < \dfrac{2}{b-c}$ Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho: $a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số $$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x $$ Câu 6: Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$
Đề thi Olympic sinh viên năm 2013 trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội Môn thi: Đại số Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho $f(A)=Tr(AC)$. b/ Nếu thêm giả thiết $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B$ thì tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\alpha Tr(A)$. Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận $$\begin{pmatrix} I_{n} &A \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix}$$ là một ma trận chéo hóa được. Ở đó $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n. Bài 3: Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j} \neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$. Tính định thức $D_{n}$ của ma trận $M=(m_{i,j})_{n\times n}$, ở đó: $$m_{i,j}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$$ Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ $n\times n$ với hệ số phức. Chứng minh rằng $\left | det(A+B) \right |\leq 2^{n}$ Bài 5: a/ Cho $A\in M_{3}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Chứng minh rằng $A=I$ b/ Cho $A\in M_{4}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Kết luận $A=I$ có còn đúng không? Tại sao? Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn: $$P(x)P(x+1)=P(x^2),\forall x\in\mathbb{R}$$ Định nghĩa và ký hiệu: (1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B (2) $M_{n}(\mathbb{Q})=\left \{ (a_{i,j})_{n\times n}|a_{i,j}\in\mathbb{Q} \right \}$ (3) Giả sử $A=(a_{i,j})_{n\times n}$. Ma trận phụ hợp phức $A^*=(a_{i,j}^{*})_{n\times n}$ của A được định nghĩa như sau: $a_{i,j}^{*}=\bar{a_{j,i}}$. Ma trận A được gọi là unita nếu $AA^*=A^*A=I$ Môn thi: Giải tích Bài 1: Tính giới hạn sau: $$\lim_{x\to 0^+}\int_{x}^{2x}\frac{sin(2t)}{t^n}dt$$ Bài 2: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho: $$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$ Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$ Bài 3: Cho hai dãy số thực$\left \{ x_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ và $\left \{ y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. $x_{n+1}\geq x_{n},\forall n=0,1,2,...; x_{0}=0;\lim_{n \to \infty}x_{n}=+\infty$. 2. $\lim_{n \to \infty}y_{n}=1$. Chứng minh rằng: $$\lim_{N\to +\infty}\frac{\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})y_{n}}{x_{N}}=1$$ Bài 4: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$. 2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng: $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$ Bài 5: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với các hệ số $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên $(x,y),x\neq y$ sao cho $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng phương trình $P(x)=0$ có nghiệm nguyên.
Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên 2013 HVTC môn Giải tích Câu 1: Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn: $$x_1=2013 , x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+3x_n+16}{x_n^2-x_n+11}$$ Tìm: $\lim_{n \to +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^2+7}$ Câu 2: Tìm tất cả các số $d\in (0,1)$ có tính chất: Nếu $f(x)$ là hàm tùy ý liên tục, xác định với $x\in [0,1]$ , ngoài ra: $f(0)=f(1)$ thì tồn tại các số $x_0\in[0,1-d]$ sao cho: $f(x_0)=f(x_0+d)$ Câu 3: Cho hàm $f(x)$ liên tục, khả vi trên $[0,+\infty)$ thỏa mãn: $f(0)=0$, $f'(0)>0$ và: $f"(x)> f(x)$ với $\forall x>0$. Chứng minh: $f(x)>0$ với: $\forall x>0$ Câu 4: Cho hàm $f(x)$ khả vi, thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$ với $\forall x\in [0,1]$ Chứng minh: tồn tại $c\in (0,1)$ để $f'( c )=6$ Câu 5: Cho $f,g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $g'(x)=f(g(x))$. Chứng minh: Nếu $\lim_{x \to +\infty}g(x)=c$ thì $f( c )=0$.
