Tuyển tập một số bài toán Olympic SV Giải tích Câu 1: Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và thỏa mãn: $f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ Chứng minh rằng: $f(\frac{a+b}{2})(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (\frac{f(a)+f(b)}{2})(b-a)$. Câu 2: Cho $f:[a,b] \rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ luôn tồn tại số dương $\alpha$ và $c \in (a,b)$ sao cho: $f( c)+f(c+\alpha)+...+f(c+n.\alpha)=(n+1)(c+\frac{n}{2}.\alpha)$. Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên $[0,1]$. Chứng minh rằng: $\lim_{n \rightarrow +\infty}(\int_{0}^{1}f^n(x)dx)^{\frac{1}{n}}=\max_{x \in [0,1]}f(x)$. Câu 4: Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ thõa mãn: $a_1^x+a_2^x+...+a_n^x \geq b_1^x+b_2^x+...+b_n^x$ với mọi $x$. Xét tính đơn điệu của hàm số: $f(x)=(\frac{a_1}{b_1})^x+(\frac{a_2}{b_2})^x+...+(\frac{a_n}{b_n})^x$. Câu 5: Cho hàm $u(x)$ dương liên tục trên $[0; \infty )$, hàm $\varphi \left( x \right)$ tăng và khả vi trên $[0;\infty )$, $\varphi \left( 0 \right)=1$ Biết rằng với mọi $x\ge 0$ ta có: $u\left( x \right) \le 1 + \int\limits_0^x {\frac{{\varphi '\left( t \right)}}{{\varphi \left( t \right)}}} u\left( t \right)dt$ Chứng minh: $u(x) \le \varphi \left( x \right)$ trên $[0;\infty )$ Bài 6: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho: $$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$ Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$ Bài 7: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$. 2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng: $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$
Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán ĐH Ngoại thương năm 2015 Bài 1: Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó $n \in N^*$ Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonaxi. Bài 2: Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$. Bài 3: Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$ Bài 4: Cho $A \in Mat(2015, R)$, $A^{2015}=2015A$. Hãy giải hệ phương trình? $$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2 &... & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2 & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...& & ... & & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &... & +\;a_{2015,2015}x_{2015} &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$ Bài 5: Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng: a) $A^t=A^{-1}$ b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$ Bài 6: Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$. Bài 7: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH KHTN TP. HCM 2015 Môn thi: ĐẠI SỐ Câu 1: Cho ma trận $A$ là ma trận đối xứng thực, vuông cấp $n$. Giả sử rằng: $$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}$$ Chứng minh rằng $A=I_{n}$. Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao? "Mọi ma trận $A$ vuông, cấp $2$ trên $\mathbb{C}$ luôn tồn tại ma trận $B$ sao cho $B^{2}=A$." Câu 3: Cho $P, Q \in M_{n}(\mathbb{R})$. Giả sử rằng $P^{2} = P, Q^{2} = Q$ và $I_{n} - (P+Q)$ khả nghịch. Chứng minh rằng $rank(P)=rank(Q)$. Câu 4: Cho ma trận: $$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$ Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng: a. $rank(T) \geq n-1$. b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau. Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau: $$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$ trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch. Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu: $$\det(A) = 0,$$ trong đó $$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n$$. Môn thi: GIẢI TÍCH Câu 1: Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(\mathbb{R})=\mathbb{Q}$, với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ. Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau: a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$. b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$. Tìm $f(x)$. Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ. Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ. Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz. Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$ với mọi $x$. Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng: $$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH sư phạm HN 2015 Đề ĐẠI SỐ Bài 1: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp $n \in \mathbb{N}^*$. Giả sử tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_1,...,t_{n+1}$ sao cho $C_i=A+t_iB,\;i=1,...,n+1$ là lũy linh. Hãy chứng minh rằng $A,B$ là các ma trận lũy linh. Bài 2: Cho $a_0$ và $d$ là các số thực.Với $j=0,...,n$, đặt $a_j=a_0+jd$. Cho $$A=\begin{pmatrix}a_0 &a_1 &a_2 &\cdots &a_n \\a_1 &a_0 &a_2 &\cdots & a_{n-1}\\ a_2 &a_1 &a_0 &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_0 \end{pmatrix}$$ Hãy tính định thức của $A$ theo $a_0,d,n$ Bài 3: Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $A^3=A+I_n$ với $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Chứng minh rằng $\det A>0$ Bài 4: Tìm tất cả ma trận thực vuông $A$ cấp $2$ sao cho $A^2=I_2$ với $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2. Bài 5: Cho bất phương trình $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$$ Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số. Bài 6: Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n\in \mathbb{N}^*$ với các hệ số thực và chỉ có nghiệm thực. Chứng minh rằng $$(n-1)\left(P^{'}(x) \right)^2 \ge nP(x)P^{''}(x)$$ Đề GIẢI TÍCH Bài 1: Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới $$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$$ Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n \ge 1}$ Bài 2: Cho $f:[0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm thỏa mãn $f(0)<0,\; f(1)>0$ . Giả sử tồn tại hàm liên tục $g$ trên $[0;1]$ sao cho hàm $f+g$ giảm trên $[0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0;1)$. Bài 3: Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(xf(y))=yf(x), \;\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$ Bài 4: Giả sử $f:[a;b] \to \mathbb{R}\;,\; b-a\ge 4$ là hảm khả vi trên $(a;b)$. Chứng minh tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho $$f^{'}(x_0)<1+f^2(x_0)$$ Bài 5: Giả sử $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và biết rằng $f(-1)=f(0)=f^{'}(0)=0,f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (-1;1)$ sao cho $f^{'''}( c ) \ge 3 $ Bài 6: Giả sử $\Re=\{ f\in C^2[0;1]:\; f(0)=f(1)=0, f^{'}(0)=a \}$ Tìm $\min_{f \in \Re} \int_0^1 \left( f^{''}(x) \right)^2 dx $
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015 Môn GIẢI TÍCH Bài 1: Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định như sau $$x_1>0, \;\;\;, x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+4x_n}{x_n^2+1},\; n \ge 1$$ Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{n^2}=0$ Bài 2: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện: $f(x)>0$, đơn điệu tăng và $f^{''}(x)<0 \;, \forall x>0$. Chứng minh tồn tại số $M$ sao cho $$f(x)<Me^\frac{x}{2014} ,\; \forall x>0$$ Bài 3: Cho $f:[0;1] \to [0;+\infty)$ khả vi và hàm đạo hàm cấp một đơn điệu giảm và $f(0)=0,\; f^{'}(1)>0$, chứng minh $$\int_{0}^1 \dfrac{dx}{f^2(x)+1} \le \dfrac{f(1)}{f^{'}(1)}$$ Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 4: Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn $$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$ Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm. Bài 5: Chứng minh nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và $f(x) \neq x\;, \forall x \in \mathbb{R}$ thì $f(f(x)) \neq x ,\; \forall x \in \mathbb{R}$ Bài 6: Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$ $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$ $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$ Môn ĐẠI SỐ Bài 1: Cho các số thực $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n , \; n \ge 2$, tính định thức cấp $n$ sau: $$D=\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}&a_n\\-x_1 &x_2 &0 &\cdots &0 &0 \\0 &-x_2 &x_3 &\cdots &0 &0 \\\cdots \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0 &0 & 0& \cdots& -x_{n-1}& x_n\end{vmatrix}$$ Bài 2: Cho $A,B$ là các ma trận thực cấp $n$ khác nhau thỏa mãn $A^3=B^3,\; A^2B=B^2A$. Chứng minh $A^2+B^2$ suy biến. Bài 3: Cho $A,B$ là các ma trận vuông khả nghịch, chứng minh nếu $A+B$ khả nghịch thì $A^{-1}+B^{-1}$ cũng khả nghịch. Bài 4: Cho $A$ là ma trận thức cấp $4\times 2$ và $B$ là ma trận thực cấp $2 \times 4$ sao cho $$AB=\begin{pmatrix}1&0&-1&0 \\0&1&0&-1 \\-1&0&1&0 \\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$ Tìm $BA$ Bài 5: Xác định ma trận $A$ biết rằng ma trận phụ hợp của nó là $$A^{*}=\begin{pmatrix} m^2-1&1-m&1-m\\1-m&m^2-1&1-m \\1-m&1-m&m^2-1 \end{pmatrix}\;, m \neq 1, m\neq -2$$ Bài 6: Cho hệ phương trình $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\end{cases}$$ Với các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{11},a_{22},a_{33}$ là các số thực dương Tất cả các hệ số khác âm Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là số thực dương Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x_1=x_2=x_3=0$
Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012 Câu 1. a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$ b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$ Câu 2. Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm. Câu 3. Cho phương trình : $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-4}+...+\dfrac{1}{x-n^2}=0$ a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$ b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$ Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$. Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$ Câu 5. Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$ Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện : 1, $f(x)=-f(-x)$ 2, $f(x+1)=f(x)+1$ 3, $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$
Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM năm 2014 Môn: GIẢI TÍCH Bài 1 (2 điểm): Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f:\mathbb{R}= \mathbb{Q}$ với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỉ. Bài 2 (2 điểm): Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau: a. $f(xf(y))=yf(x),\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}$ b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x\rightarrow \infty$ Bài 3: (2 điểm): Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n}\leq b_{n},\forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $-\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ. Bài 4: (2 điểm): Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ. Bài 5: (1,5 điểm): Một hàm $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K>0$ sao cho $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|,\forall x, y \in D.$ Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lípchitz. Bài 6: (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau đây: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\frac{1+\log_{2}n}{2},\forall n \geq 1$$ từ đó suy ra $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$$ Môn: ĐẠI SỐ Câu 1: Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\ ...................\\ x_{98}+x_{99}+x_{100}=0\\ x_{99}+x_{100}+x_{1}=0\\ x_{100}+x_{1}+x_{2}=0 \end{matrix}\right.$$ Câu 2: Cho hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0 \end{matrix}\right.$$ Hai người lần lượt điền các hệ số vào chỗ đánh dấu $*$. Chứng minh rằng người đi đầu bao giờ cũng có thể làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất. Người thứ hai có luôn đạt điều đó không? Đối với một hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn, $n$ phương trình thì sao? Câu 3: Tính định thức: $$I_{n}=\begin{vmatrix} 5 & 3 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 3 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Câu 4: Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thỏa $\det(A\pm B)\neq 0$. Đặt: $$M=\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}$$ Chứng minh rằng $\det (M)\neq 0$ Câu 5: Cho $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$ sao cho tồn tại các số thực $\alpha ,\beta \neq 0$ thỏa mãn: $AB+\alpha A+ \beta B=0$. Chứng minh rằng $AB=BA$. Câu 6: Chứng minh rằng nếu $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thì $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.
Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2014 Môn: Đại số Câu 1: Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$ (a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$ (b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$. Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$ Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$ Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm. (a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$. (b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận hoán vị. Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$ (a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$ (b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên. Môn: Giải tích Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$ Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ. Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$. (a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1=0$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$ (b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$. Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$ (a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$ (b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không? Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$ Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$ Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$
Đề thi Olympic toán sinh viên ĐH FPT năm 2014 MÔN GIẢI TÍCH Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ Câu 2. Xác định tất cả các số thực $ c > 0$ sao cho dãy số: $$a_1 = \dfrac{c}{2};a_{n+1} = \dfrac{c+a_n^2}{2},\forall n > 0$$ hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó. Câu 3. Cho hàm số liên tục $f:[0;1] \to [0;1]$. Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm trong $[0;1]$. $$2x-\int_{0}^{x}f(t)dt=1$$ Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$$ với mọi $x \geq 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)−yf(x)=f \left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x \neq 0$. Câu 6. Cho hai dãy số thực $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn a) $(a_n+b_n)a_n \neq 0$ với mọi $n \geq 1$. b) Các chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ và $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$ đều hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$ cũng hội tụ. MÔN ĐẠI SỐ Câu 1. Cho ma trận $$A=\begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \\ \end{bmatrix}$$ Tính $A^{100}$ Câu 2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập số thực có tính chất tổng các phần tử trên mỗi hàng của $A$ đều bằng $c$. Nếu $A^2=I$, tìm $c$. Câu 3. Ký hiệu $M_n$ là không gian các ma trận vuông cấp $n$. Xét ánh xạ tuyến tính $S:M_n \to M_n$ và $S(A)=A+A^T$. Tính $dim(Im S)$. Câu 4. a) Cho $A$ là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt. Cho $B$ là ma trận vuông giao hoán với $A$. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f(t)$ sao cho $B=f(A)$. b) Hãy giải bài toán trong trường hợp $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $n$ giá trị riêng phân biệt. Câu 5. Cho $n > 1$. a) Hãy chỉ ra ma trận vuông $A$ cấp $n$ thỏa mãn $A^3=2A^2−A+2I$. b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ trên tập các số thực thỏa mãn $A^3=2A^2−A+2I$. Chứng minh rằng $detA > 0$. Câu 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn tính chất: a) Các hệ số của $P(x)$ là hoán vị của $0,1,2,...,n$. b) $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm hữu tỉ.
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Công nghiệp HN 2014 Câu 1 (2 điểm) Cho hệ vector: $$u_1 = (2;3;5);u_2 = (3;7;8); u_3 = (1;-6;1); u_4 = (7;-2;m)$$ Tìm $m$ để vector $u_4$ biểu diễn tuyến tính qua các vector $u_1,u_2,u_3$ Câu 2 (2 điểm) Tính định thức: $$\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$ Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng: $$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$ Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn: $$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$. a) Chứng minh rằng: $$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$ b) Tính tích phân: $$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$ Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$ có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$
