Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán 2013 ĐH Mỏ địa chất- môn Giải tích Môn Giải tích: Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$ Bài 2: ($3$ điểm): Tính giới hạn sau: $\underset{n\rightarrow +\infty}{Lim}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^n})$ Bài 3: ($3$ điểm): Tìm tất cả các giá trị của $a \in \mathbb{R}$ để hàm số: $f(x)=\left | x-1 \right |.(a^3x^2+2ax-3)$ khả vi tại $x=1$ Bài 4: ($4$ điểm): Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ , khả vi trên $(0,1)$ có $f(1)=0$ chứng minh rằng: Tồn tại $x_0\in (0,1)$ để: $f'(x_0).x_0 + 1 = e^{-f(x_0)}$. Bài 5: ($3$ điểm): Chứng minh hàm $f(x)$ xác định trên $R$ thỏa mãn: $f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x)$ là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó. Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$. a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$. b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$ Môn Đại số: Câu 1: Cho $a_0$, $d\in R$ và $a_1=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau: $\Delta = \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 &... &a_n \\ a_1& a_0 & a_1 & ...& a_{n-1}\\ a_2& a_1 & a_0 & ... & a_{n-2} \\ ...& ... & ... & ...& \\ ... a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & ... & a_0 \end{vmatrix}$ Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$. Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$. Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$. a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$. b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$. Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$ Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$. Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$
Đề thi Olympic toán sinh viên ĐH Ngoại Thương TPHCM 2013 Câu 1. Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ -7 & 3 & 5\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. đặt $U_{n}=E+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}A^{k}$ với E là ma trận đơn vị cấp 3. Tính $\lim_{n \to \infty }U_{n}$ Câu 2. Dãy số Fibonaci được định nghĩa bởi $F_{0}=1$;$F_{1}=1$;$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$nếu $n\geq 1$ a) CMR: $F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n}$ nếu $n\geq 1$ b) Tính giá trị của $\prod_{n=1}^{+\infty }\left ( 1+\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n}^{2}} \right )$ Câu 3. Với $a_{i},b_{i}(i=1,2,...n)$ là các số thực cho trước đôi một phân biệt. Xét hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix} \frac{x_{1}}{a_{1}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{1}-b_{2}}+...\frac{x_{n}}{a_{1}-b_{n}}=1\\ \frac{x_{1}}{a_{2}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{2}-b_{n}}=1\\ .......................................\\ \frac{x_{1}}{a_{n}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{n}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{n}-b_{n}}=1 \end{matrix}\right.$$ a) Giải hệ phương trình b) Tính tổng các ngiệm Câu 4. Cho $A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$ là một ma trận thực hoặc phức với các giá trị riêng phân biệt $\lambda _{1},\lambda _{2}$ và các vector riêng tương ứng $X_{1},X_{2}$. Cho $P=\begin{bmatrix} X_{1}\setminus X_{2} \end{bmatrix}$. CMR hệ $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\ y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n} \end{matrix}\right.$ có nghiệm là $\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}=\alpha \lambda _{1}^{n}X_{1}+\beta \lambda _{2}^{n}X_{2}$ trong đó $\alpha ,\beta$ được xác định bởi phương trình $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=P^{-1}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}$ Câu 5. Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 &0 \\ 0 &2 &-1 &0 \\ 0 &0 &2 &-1 \\ 0 &0 &0 &2 \end{bmatrix}$. tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn $A.X=X.A$ Câu 6. Biện luận theo m nghiệm đa thức $P(x)$ của phương trình hàm sau: $1+x+P(x)=m[P(x+1)+P(x-1)]$
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN QUỐC TẾ NĂM 2013 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho $A$ và $B$ là các ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng đều lớn hơn 1. Gọi $\lambda$ là một giá trị riêng của ma trận $AB$. Chứng minh rằng $\left| \lambda \right| > 1$. Bài 2. Cho $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi cấp hai. Giải sử $f(0)=0$. Chứng minh rằng tồn tại $\xi \in (-\pi/2,\pi/2)$ sao cho $$ f''(\xi) = f(\xi) \big( 1+2\tan^2\xi \big). $$ Bài 3. Có $2n$ sinh viên trong một trường học $(n \in \mathbb{N}, n \ge 2)$. Mỗi tuần $n$ sinh viên đi du lịch. Sau một số chuyến du lịch, điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi hai sinh viên được đi cùng nhau ít nhất một chuyến. Số chuyến du lịch tối thiểu để điều này xảy ra là bao nhiêu? Bài 4. Cho $n \ge 3$ và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực không âm. Ta định nghĩa $\displaystyle A = \sum_{i=1}^n x_i, B = \sum_{i=1}^n x_i^2$ và $\displaystyle C = \sum_{i=1}^n x_i^3$. Chứng minh rằng $$ (n+1)A^2B+(n-2)B^2 \ge A^4+(2n-2)AC. $$ Bài 5. Tồn tại hay không dãy $(a_n)$ các số phức sao cho với mọi số nguyên dương $p$, ta có $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_n^p$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p$ không nguyên tố? Ngày thứ hai Bài 1. Cho $z$ là số phức thỏa mãn $\left| {z + 1} \right| > 2$. Chứng minh rằng $\left| {{z^3} + 1} \right| > 1$. Bài 2. Cho $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $$ \sum_{k=0}^{pq-1} (-1)^{{}^{\left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{q} \right\rfloor}} = \begin{cases} 0 &\text{nếu} \ pq \ \text{chẵn}, \\ 1 &\text{nếu} \ pq \ \text{lẻ}. \end{cases} $$ (Trong đó $\lfloor x \rfloor$ là phần nguyên của $x$.) Bài 3. Giải sử $v_1,v_2,\ldots,v_d$ là các vector đơn vị trong$\mathbb{R}^d$. Chứng minh rằng toonf tại vector đơn vị $u$ sao cho $$ |u \cdot v_i| \le \frac{1}{\sqrt{d}} $$ với$i=1,2,\ldots,d$. (Ở đây $\cdot$ kí hiệu tích vô hướng thông thường trên $\mathbb{R}^d$.) Bài 4. Tồn tại hay không tập vô hạn $M$ gồm các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b \in M$, và $a<b$ sao cho $a+b$ là số bình phương tự do. (Một số nguyên dương được gọi là bình phương tự do nếu không có số chính phương lớn hơn 1 là ước của nó. Ví dụ, 10 là bình phương tự do nhưng 18 thì không vì nó có ước là 9 = 32.) Bài 5. Xét một vòng cổ tròn gồm 2013 hạt. Mỗi hạt được sơn màu trắng hoặc màu xanh. Một cách sơn vòng cổ được gọi là tốt nếu giữa bất kì 21 hạt liên tiếp nào cũng có ít nhất một hạt màu xanh. Chứng minh rằng số cách sơn tốt của vòng cổ này là số lẻ. (Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cách quay hay lật chuỗi hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.)
Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013 Môn Đại số. Bài 1. Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau $\left[ \begin{matrix} x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ {{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right]$ Bài 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1. Bài 3. Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$ Bài 4. Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$ a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$ b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$ Bài 5. Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không? Bài 6. Chọn một trong hai câu. 6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix} 2013 & 2012 \\ 2012 & 2013 \\ \end{matrix} \right]}^{n}}$. 6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$ Môn Giải tích. Bài 1. a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$. b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$ Bài 2. Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$. Bài 3. Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau $\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\ & {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\ \end{align} \right.$ Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 4. Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$. Bài 5. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$ Bài 6. Chọn một trong hai câu. 6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$. 6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$. Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.
Đề chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên 2013 ĐH GTVT Hà Nội Câu 1: Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R} $, tính định thức $$\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 &a^4 \\ 1& b & b^2 &b^4 \\ 1& c &c^2 &c^4 \\ 1& d &d^2 &d^4 \end{vmatrix}$$ Câu 2: a) Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp 2013 sao cho $AB=0$. Chứng minh $\det(A+A^T) \det(B+B^T)=0 $ b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $Tr(A^k)= [Tr(A)]^k \;, \forall \; 1 \le k \le n $. Chứng minh $\det(A)=0 $ Câu 3: Cho $A,B$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $A^2=A,B^2=B ,AB=BA$ . Chứng minh nếu $A-B$ lũy linh thì $A=B$. Câu 4: Cho $A,B$ là ma trận cấp 3 có các phần tử là số thực sao cho $AB=BA, \det(A^2+B^2)=0 $ . Chứng minh rằng: $$\det(A+B)=2 \det(A)+2\det(B) $$ Câu 5: Cho ma trận $A$ cấp $n$ không suy biến . Xét ánh xạ tuyến tính $T(X)=AX-XA \;, X \in M_n( R )$ a) Chứng minh $\dim \;Ker (T ) \ge n $ b) Chứng minh rằng các vecto riêng của $T$ ứng với các giá trị riêng khác $0$ là ma trận suy biến. Câu 6: Tìm tất cả $P \in \mathbb{R}[x] $ thỏa : $$P(x) P(x+1)=P(x^2+1) \;, \forall x \in \mathbb{R} $$
Đề thi Olympic Toán Sinh viên 2012 ĐH Ngoại Thương HN Câu 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp 2012 có các phần tử nằm trên đường chéo chính là số chẵn, các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số lẻ. Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch Câu 2: Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n.n}$ với $a_{ij}\in{-1;1},n\ge3$. Chứng minh rằng $$det(A)\le(n-1)(n+1)!$$ Cho một ví dụ chứng tỏ đẳng thức xảy ra? Câu 3: Chứng minh rằng nếu $A$ là ma trận đối xứng, xác định dương cấp $n\ge1$ thì $$Tr(A).Tr(A^{-1})\ge n^{2}$$ Câu 4: Cho đa thức hệ số thực $P(x),Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $$P(1+x+Q(x)^{2})=Q(1+x+P(x)^{2}),x\in R$$ Biết rằng phương trình $P(x)=Q(x)$ có nghiệm, chứng minh $P(x)\equiv Q(x)$ Câu 5: Cho $A,B$ là các ma trận thực,vuông cấp 2 thỏa mãn $AB=BA ; A^{2012}=B^{2012}=0$. Tính ma trận: $(A+B)^{2013}$ Câu 6: Cho các ma trận cùng cấp $A,B$ thỏa mãn điều kiện $A+B=AB$ Chứng minh rằng: $$AB=BA; det(A^2+B^2)\ge 0$$
Đề chọn đội tuyển Olympic sinh viên ĐH SPKT Tp.HCM môn Đại số năm 2013 Lần 1: Câu 1: Biết rằng A là ma trận không suy biến, B là ma trận khác không sao cho tồn tại tích AB. Chứng minh rằng AB khác không. Câu 2: Hai ma trận $A,B \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ được gọi là tương đương nếu tồn tại các ma trận khả nghịch P cấp n và ma trận Q cấp m sao cho $B=QAP$. Kí hiệu $A\sim B$ a) Chứng minh rằng: $AP\sim A$ $QA\sim A$ b) Với X là ma trận vuông tùy ý. Chứng minh rằng $X$ và $X^{T}$ tương đương với nhau. Trong đó $X^{T}$ là ma trận chuyển vị của $X$ Câu 3: Cho $A_{0},A_{1},\cdots ,A_{m\times n}$ là các ma trận cấp $m\times n$. Chứng minh rằng ta luôn tìm được các số thực $\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m\times n}$ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\alpha _{0}A_{0}+\alpha _{1}A_{1}+\cdots \alpha _{m\times n}A_{m\times n}=0$ Câu 4: Giả sử $\left \{ u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n} \right \}$ là hệ độc lập tuyến tính trên V và $u=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$. Chứng minh rằng $\left \{ u-u_{1},u-u_{2},\cdots ,u-u_{n} \right \}$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\neq 1$ Lần 2: Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 5 & 1 \end{pmatrix}$. Tính $A^{n}$ Câu 2: Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$ Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$ Câu 3: Một ma trận vuông $M$ được gọi là trực giao nếu $M^{T}M=MM^{T}=I_{n}$. Chứng minh rằng: mọi ma trận vuông $A$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $A=PXQ$, trong đó $P, Q$ là các ma trận trực giao và $X$ là ma trận đối xứng.
Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế 2012 Bài 1. Với mọi số nguyên dương $n$, gọi $p(n)$ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên dương không kể thứ tự. Chẳng hạn $ p(4)=5 $ bởi vì \[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1. \] Ta cũng quy ước $ p(0)=1 $. Chứng minh rằng $ p(n)-p(n-1) $ là số cách viết $n$ thành tổng của các số nguyên (không kể thứ tự) mà mỗi số hạng đều lớn hơn $1$. Bài 2. Cho số nguyên $n> 1$, $S_n$ là nhóm các hoán vị của các số $1,2,3, ..., n$. Hai người chơi, $A$ và $B$, chơi trò chơi sau đây. Lần lượt, họ chọn các phần tử từ nhóm $S_n$ (mỗi phần tử cho một lần). Một phần tử đã được lựa chọn, sẽ không được chọn lại. Trò chơi kết thúc khi các phần tử được chọn tạo ra đầy đủ nhóm $S_n$. Người chơi lượt cuối cùng sẽ bị thua cuộc. Người đầu tiên chơi là $A$. Người chơi nào có một chiến lược chiến thắng? Bài 3. Cho $ f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ là một hàm liên tục thỏa mãn $ f'(t)>f(f(t)) $ với mọi $ t\in\mathbb{R} $. Chứng minh rằng $ f(f(f(t)))\le0 $ với mọi $ t\ge 0 $. Bài 4. 5. Cho $a$ là một số hữu tỉ, và $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $ là bất khả quy trên vành $ \mathbb{Q}[X] $ các đa thức hệ số hữu tỉ. Bài 5. Xét đa thức $ f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}$. Albert Einstein và Homer Simpson chơi một trò chơi sau. Đến lượt của mình, người chơi chọn một trong các hệ số $ a_{0},a_{1},\dots,a_{2011} $ và gán nó thành một giá trị thực. Albert là người chơi trước. Một giá trị được gán sẽ không thay đổi được nữa. Trò chơi sẽ kết thúc sau khi tất cả các hệ số đều được gán giá trị. Mục tiêu của Homer's là làm cho $ f(x) $ chia hết cho một đa thức $m(x)$ xác định và mục tiêu của Albert's là ngăn chặn điều này. (a) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x-2012 $? (b) Người chơi nào có chiến lược để thắng nếu $ m(x)=x^{2}+1 $? Bài 6. Cho dãy số $a_0,a_1,…$ xác định bởi $a_0=1, a_1=\dfrac{1}{2}$, và $a_{n+1}=\dfrac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},\;\forall n\ge 1$. Chứng minh rằng chuỗi $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ hội tụ và tìm giá trị đó. Bài 7. Tập hợp các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $ n!+1 \Big| (2012n)! $ là hữu hạn hay vô hạn? Bài 8. Cho số nguyên $ n\ge 2 $. Tìm tất cả những số thực $a$ sao cho tồn tại các số thực $ x_{1},x_{2},\dots,x_{n} $ thỏa mãn điều kiện \[ x_{1}(1-x_{2})=x_{2}(1-x_{3})=\dots=x_{n}(1-x_{1})=a. \]
