Cho hàm số \(y=\sqrt{-x^2+4x-3}+\sqrt{-x^2+6x-8}\). Tìm tập xác định của hàm số. \(\left[1;3\right]\cup\left[2;4\right]\) (\(-\infty;2\)) \(\cup\) (3;\(+\infty\)) \(\left[2;3\right]\) \(\varnothing\)
Tập xác định của hàm số \(y=\frac{e^x}{e^x-1}\) là tập hợp nào sau đây ? \(\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\) \(\mathbb{R}\backslash\left\{e\right\}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định: \(e^x-1\ne0\Leftrightarrow e^x\ne1\Leftrightarrow x\ne0.\) Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}.\)
Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left(x_0\right)\) thì đạo hàm của hàm số \(y=x.f\left(x\right)\) tại \(x_0\) là : \(x_0f'\left(x_0\right)\) \(f\left(x_0\right)+x_0f'\left(x_0\right)\) \(f\left(x_0\right)-f'\left(x_0\right)\) \(x_0f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\) Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích: \(\left(uv\right)'=u'v+uv'\) ta có: \(y=x.f\left(x\right)\Rightarrow y'=\left(x\right)'.f\left(x\right)+x.f'\left(x\right)\Rightarrow y'\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)+x_0.f'\left(x_0\right).\)
Hàm số \(y=\sqrt{2x-x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (1;2) (1; +\(\infty\)) (0;1) (0;2) Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho có tập xác định là \(\left[0;2\right]\) và có đạo hàm \(y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}\). Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi \(y'< 0\Leftrightarrow x\in\left(1;2\right)\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;2\right).\)
Hàm số \(y=\frac{x^2-2x}{x-1}\) đồng biến trên khoảng nào ? \(\left(-\infty;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) \(\left(0;+\infty\right)\) \(\left(-1;+\infty\right)\) \(\left(1;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: \(y'=\dfrac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x\right)}{\left(x-1\right)^2}\) \(=\dfrac{2\left(x^2-2x+1\right)-x^2+2x}{\left(x-1\right)^2}\)\(=\dfrac{x^2-2x+2}{\left(x-1\right)^2}>0,\forall x\ne1\). Vậy hàm số đồng biến với mọi \(x\in R\) / \(\left\{1\right\}\).
Cho hàm số \(y=x^3-2x\). Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại ( \(y_{CĐ}\) ) và giá trị cực tiểu (\(y_{CT}\)) là : \(y_{CT}=2y_{CĐ}\) \(y_{CT}=\frac{3}{2}y_{CĐ}\) \(y_{CT}=y_{CĐ}\) \(y_{CT}=-y_{CĐ}\) Hướng dẫn giải: Có \(y'=3x^2-2,y"=6x.\) Lại có \(y'=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\) và \(y"\)luôn cùng dấu với \(x.\) Do đó \(x_{CT}=\sqrt{\dfrac{2}{3}},x_{CĐ}=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}.\) Suy ra \(y_{CĐ}=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}};y_{CT}=-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\), do đó \(y_{CT}=-y_{CĐ}\)
