Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau : Đường nào trong các đường sau đây có thể là đồ thị của hàm số đã cho ? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nên Hình 1, Hình 3, Hình 4 không phù hợp
Trong các khoảng sau, hàm số \(y=\ln\left|2x-1\right|\) đồng biến trên khoảng nào ? \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)\) \(\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) \(\left(0;1\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=\ln\left|2x-1\right|\) có \(y'=\frac{2}{2x-1}\) Như vậy \(y'>0\Leftrightarrow x\in\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\)
Trong các đường cong cho sau đây, đường nào là đồ thị của hàm số : \(y=\frac{x-2}{2x+1}\) ? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hướng dẫn giải: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\frac{1}{2}}y=\infty;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=\frac{1}{2}\) Hàm số có tiệm cận đứng \(x=-\frac{1}{2}\); tiệm cận ngang \(y=\frac{1}{2}\)
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y=\sin2x\) \(x=\frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2}\left(l\in Z\right)\) \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\) \(y=-1\) \(y=1;y=-1\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\sin2x;y'=2\cos2x;y"=-4\sin2x\) \(y'=0\Leftrightarrow\cos2x=0\) \(\Leftrightarrow2x=\pm\frac{\pi}{2}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi,\left(k\in Z\right)\) Mà \(y"\left(\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=-4\sin\left(\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=\mp4\) Các điểm cực tiểu của hàm số là : \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\) Các giá trị cực tiểu là \(y\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=-1\)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\cos x\) trên đoạn \(D=\left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{3}\right]\) \(\max_Dy=\frac{5\pi}{3}+\frac{1}{2};\min_Dy=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\max_Dy=\frac{5\pi}{3}+\frac{1}{2};\min_Dy=\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\max_Dy=\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2};\min_Dy=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\max_Dy=\frac{\pi}{2};\min_Dy=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: \(y'=0\Leftrightarrow1-\sin x=0\) Trong khoảng \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{3}\right]\) phương trình \(y'=0\) chỉ có nghiệm là \(x=\frac{\pi}{2}\) Giá trị của \(y=x+\cos x\) tại \(\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}\) lần lượt là \(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}+\frac{1}{2}\) Do đó : \(\max_Dy=\frac{5\pi}{3}+\frac{1}{2};\min_Dy=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Tìm hoành độ các giao điểm của đường thẳng \(y=2x-\frac{13}{4}\) với đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2-1}{x+2}\) ? \(x=-\frac{11}{4}\) \(x=2\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(x=2;x=-\frac{11}{4}\) \(x=1;x=2;x=3\) Hướng dẫn giải: Phương trình \(y=2x-\frac{13}{4}=\frac{x^2-1}{x+2}\) có 2 nghiệm \(x=2;x=-\frac{11}{4}\)
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2+\left(m+2\right)x+m^2+2}{x+m}\) có hai điểm cực trị cách đều trục tung. \(m=0\) không có \(m=1\) \(m=-3\) Hướng dẫn giải: Cần tìm m để y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt với tổng bằng 0. \(y'=\frac{x^2+2mx+2m-2}{\left(x+m\right)^2}\) Điều kiện \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow-2m=0\Leftrightarrow m=0\)
Đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x^2-4}+1}{x^2+1}\) có bao nhiêu đường tiệm cận (đứng, ngang) ? 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=0\) nên đồ thị có 1 tiệm cận ngang là y = 0 Vì hàm số xác định với \(x\le-4\) hoặc \(x\ge4\) và \(y\left(\pm4\right)=\frac{1}{17}\) nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]\). Tính tích M.m ? 0 \(-3\sqrt{3}\) -4 \(3\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: \(y'=2\cos x+2\cos2x=4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}\). Trong khoảng \(\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)\) phương trình y'=0 có đúng 2 nghiệm \(x=\frac{\pi}{3}\) và \(x=\pi\). Giá trị của y tại \(x=0;x=\frac{\pi}{3};x=\pi;x=\frac{3\pi}{2}\) lần lượt là \(0;\frac{3\sqrt{3}}{2};0;-2\) Do đó \(M=\frac{3\sqrt{3}}{2};m=-2\) Tích \(Mm=-3\sqrt{3}\)
Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=mx^4+\left(m^2-9\right)x^2+10\) có 3 điểm cực trị ? \(m< -3\) \(0< m< 3\) \(m< -3;0< m< 3\) \(m=1\) Hướng dẫn giải: Có \(y'=4mx^3+2\left(m^2-9\right)x=2x\left[2mx^2+m^2-9\right]\) Cần tìm m để y' có 3 nghiệm phân biệt, tức là tam thức bậc hai \(2mx^2+m^2-9\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Vậy phải có \(\frac{-m^2+9}{2m}>0\) Tức là \(m< -3;0< m< 3\)
