Tính tổng các nghiệm của phương trình \(2^{x^2-3}.5^{x^2-3}=0,01\left(10^{x-1}\right)^3\) 3 5 0 \(2\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình thành \(10^{x^2-3}=10^{3x-5}\) hay \(x^2-3=3x-5\). Phương trình có 2 nghiệm \(x=1;x=2\). Tổng các nghiệm là 3
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(-x+1\right)^{-\frac{1}{3}}\) \(-\frac{1}{3}\left(-x+1\right)^{-\frac{4}{3}}\) \(\frac{1}{3}\left(-x+1\right)^{-\frac{4}{3}}\) \(\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}.\ln\left|1-x\right|\) \(\frac{1}{\ln\left|-x+1\right|}\left(-x+1\right)^{-\frac{1}{3}}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \(\left(u^{\alpha}\right)'=\alpha u^{\alpha-1}u'\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\left(x^2+x-2\right)^{-2}\) ? \(D=\left(-\infty;+\infty\right)\) \(D=\left(-\infty;-2\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) \(D=\left(-2;1\right)\) \(D=R\backslash\left\{-2;1\right\}\) Hướng dẫn giải: \(y=\left(x^2+x-2\right)^{-2}=\frac{1}{\left(x^2+x-2\right)^2}\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x^2+x-2\ne0\Leftrightarrow x\ne1;x\ne-2\)
Giải bất phương trình \(4^x-2.5^{2x}< 10^x\) \(x>0\) \(x\ge0\) \(x>\log_{\frac{2}{5}}2\) \(x< 3\) Hướng dẫn giải: \(4^x-2.5^{2x}< 10^x\) \(\Leftrightarrow2^{2x}-2.5^{2x}< 2^x.5^x\) \(\Leftrightarrow\frac{2^{2x}}{5^{2x}}-2< \frac{2^x}{5^x}\) Đặt \(t=\left(\frac{2}{5}\right)^x;t>0\) \(t^2-t-2< 0\) \(\Leftrightarrow-1< t< 2\) Đối chiếu với điều kiện của t ta có: \(\left(\frac{2}{5}\right)^x< 2\) \(\Leftrightarrow x>\log_{\frac{2}{5}}2\) (vì cơ số \(\frac{2}{5}< 1\))
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\ln\left(4x-x^2\right)\). Khẳng định nào trong các khăng định sau đây đúng ? \(f'\left(2\right)=1\) \(f'\left(2\right)=0\) \(f'\left(5\right)=1,2\) \(f'\left(-1\right)=-1,2\) Hướng dẫn giải: \(f'\left(x\right)=\frac{4-2x}{4x-x^2}\Rightarrow f'\left(2\right)=0\)
Cho \(\log_{a^2+2}27=b^2+1\). Hãy tính \(\log_{\sqrt{3}}\sqrt[6]{a^2+2}\) ? \(b^2+1\) \(\frac{1}{6}\left(b^2+1\right)\) \(\frac{1}{b^2+1}\) \(\frac{1}{36\left(b^2+1\right)}\) Hướng dẫn giải: Sử dung công thức đổi cơ số ta có : \(\log_{\sqrt{3}}\sqrt[6]{a^2+1}=\frac{\log_{a^2+1}\sqrt[6]{a^2+1}}{\log_{a^2+1}\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\log_{a^2+1}3}=\frac{1}{3\log_{a^2+1}3}=\frac{1}{\log_{a^2+1}27}=\frac{1}{b^2+1}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y=5x^2-2^x\cos x\) ? \(y'=10x-2^x\cos x.\ln2+2^x\sin x\) \(y'=10x-2^x\cos x+2^x\sin x\) \(y'=10x-2^x\cos x.\ln2-2^x\sin x\) \(y'=10x+2^x\cos x.\ln2+2^x\sin x\)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a,b,ab\ne1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? \(\log_{ab}c=\frac{\log_ac+\log_bc}{\log_ac.\log_bc}\) \(\log_{ab}c=\frac{\log_ac.\log_bc}{\log_ac+\log_bc}\) \(\log_{ab}c=\frac{\left|\log_ac-\log_bc\right|}{\log_ac.\log_bc}\) \(\log_{ab}c=\frac{\log_ac.\log_bc}{\left|\log_ac-\log_bc\right|}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\frac{\log_ac+\log_bc}{\log_ac.\log_bc}=\frac{1}{\log_bc}+\frac{1}{\log_ac}=\log_cb+\log_ca=\log_c\left(ab\right)=\frac{1}{\log_{ab}c}\) Suy ra \(\log_{ab}c=\frac{\log_ac.\log_bc}{\log_ac+\log_bc}\)
Xét phương trình \(5^x.2^{\frac{2+x}{x}}=40\) (*). Trong các khẳng định,khẳng định nào sai ? (*) \(\Leftrightarrow5^x.2^{\frac{2+x}{x}}=5.2^3\) (*) \(\Leftrightarrow x=1\) (*) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=\left(4^{\frac{1}{x}}\right)^{x-1}\) (*) \(\Leftrightarrow x\ln5+\frac{2+x}{x}\ln2=ln5+3ln2\) Hướng dẫn giải: \(5^x.2^{\frac{2+x}{x}}=40\) \(\Leftrightarrow5^x.2^{\frac{2+x}{x}}=5.2^3\) \(\Leftrightarrow\frac{5^x}{5}=\frac{2^3}{2^{\frac{2+x}{x}}}\) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=2^{3-\frac{2+x}{x}}\) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=2^{\frac{2x-2}{x}}\) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=2^{\frac{2\left(x-1\right)}{x}}\) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=4^{\frac{x-1}{x}}\) \(\Leftrightarrow5^{x-1}=\left(4^{\frac{1}{x}}\right)^{x-1}\) \(\Leftrightarrow\ln5^{x-1}=\ln\left(4^{\frac{1}{x}}\right)^{x-1}\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\ln5=\left(x-1\right).\frac{1}{x}\ln4\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\ln5-\frac{\ln4}{x}\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=\frac{\ln4}{\ln5}\end{matrix}\right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x: \(9^x-m.3^x-m+3>0\) Không tồn tai \(m>2\) \(m< 2\) \(m< 3\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3^x\left(t>0\right)\) thì bất phương trình trở thành \(t^2+3>m\left(t+1\right)\Leftrightarrow m< \frac{t^2+3}{t+1}\) Cần tìm m nhỏ hơn mọi giá trị của hàm \(f\left(t\right)=\frac{t^2+3}{t+1}\left(t>0\right)\) Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t-3}{\left(t+1\right)^2}\) Trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) đạo hàm chỉ triệt tiêu tại t = 1. Chú ý rằng \(f\left(0\right)=3;f\left(1\right)=2;\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}f\left(t\right)=+\infty\) nên \(min_{t\in\left(0;+\infty\right)}f\left(t\right)=2\)
