Tìm hàm F(x) biết \(F'\left(x\right)=\sin2x\) và \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) ? \(F\left(x\right)=2x-\pi+1\) \(F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}\) \(F\left(x\right)=-\cos2x\) Hướng dẫn giải: \(F\left(x\right)\) là nguyên hàm của \(\sin2x\) nên \(F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos2x+C\), \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=C+\frac{1}{2}\). Do đó điều kiện \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\Leftrightarrow C=\frac{1}{2}\) nên \(F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\)
Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những vận tốc khác nhau : - Viên đạn thứ nhất có vận tốc \(u\left(t\right)=3t^2\) (m/s) - Viên đạn thứ hai có vận tốc \(v\left(t\right)=2t+5\) (m/s) Hỏi từ giây thứ mấy thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ hai ? tư nhất hai ba Hướng dẫn giải: Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm suy ra tại thời điểm \(t=t_o\) hai viên đạn cách nòng súng lần lượt là : \(s_1=\int\limits^{t_0}_03t^2\text{dt}=t_0^3\) \(S_2=\int\limits^{t_0}_0\left(2t+5\right)dt=t_0^2+5t_0\) Tìm ra nghiệm dương của bất phương trình \(s_1>s_2\Leftrightarrow t^3_0>t^2_0+5t_0\Leftrightarrow t^2_0-t_0-5>0\) Ta được \(t_0>\frac{1+\sqrt{21}}{3}\approx2,79\) Do đó từ giây thứ 3 viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ hai
Đặt \(I=\int\limits^3_1\frac{dx}{e^x-1}\) và \(t=e^x-1\) Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai ? \(dt=e^xdx\) \(I=ln\left(e^{2\cdot}+e+1\right)-2\) \(I=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt\) \(I=\int\limits^3_1\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt\)
Tính \(I=\int\limits^{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}_0\cos\sqrt{x}dx\) ? \(\pi-2\) \(\pi+2\) \(2-\pi\) \(-2-\pi\) Hướng dẫn giải: Đổi biến \(t=\sqrt{x}\) rồi tích phân từng phần ta có : \(\int\limits^{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}_0\cos\sqrt{x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos t.2tdt=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}2td\sin t=2t\sin t|^{\frac{\pi}{2}}_0-\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin td2t=\pi-2\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=2\sin x;y=1+\cos^2x;x=0;x=\pi\) ? \(\frac{\pi}{2}-2\) \(\frac{\pi}{2}+2\) \(2\pi-1\) \(1+\pi\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\pi}_0\left|1+\sin x-\cos^2x\right|dx\) \(=\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x+\sin^2x\right|\text{d}x\) \(=\int\limits^{\pi}_0\left(\sin x+\sin^2x\right)\text{d}x\) \(=\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{d}x+\int\limits^{\pi}_0\frac{1}{2}\left(1-\cos2x\right)\text{d}x\) \(=-\cos x|^{\pi}_0+\frac{1}{2}x|^{\pi}_0-\frac{1}{4}\sin2x|^{\pi}_0\) \(=2+\frac{\pi}{2}\)
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=x^2-4x+6\) và \(y=-x^2-2x+6\) ? \(\pi\) \(2\pi\) \(3\pi\) \(\pi-1\) Hướng dẫn giải: \(V=\left|\pi\int\limits^1_0\left[\left(x^2-4x+6\right)^2-\left(-x^2-2x+6\right)^2\right]dx\right|\) \(=\left|\pi\int\limits^1_0\left(-12x^3+36x^2-24x\right)dx\right|\) \(=\pi\left|\left(-3x^4+12x^3-12x^2\right)|^1_0\right|=\pi\left|-3\right|=3\pi\) \(V=3\pi\)
Gọi \(\mathbb{R}\) là tập các số thực, \(\mathbb{C}\) là tập các số phức. Tìm khẳng định sai: \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\) \(z=25-\sqrt{3}i\) không phải là số thực \(z=-11\) không phải là số phức \(\overline{\overline{z}}=z,\forall z\in\mathbb{C}\) Hướng dẫn giải: \(z=-11\in\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\)
Với e là cơ số của logarit tự nhiên, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int0dx=c\) \(\int dx=x+C\) \(\int x^edx=\frac{1}{e+1}x^{e+1}+C\) \(\int e^xdx=\frac{e^x}{x+1}+C\)
Cho hai số phức \(z_1=3-4i;z_2=4+3i\). Tính \(\left|\frac{2z_1}{3z_2}\right|\) ? 2 \(\frac{2}{3}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{5}{2}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng định nghĩa phép chia 2 số phức và định nghĩa mô đun của một số phức.
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(z^2\) có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành ? Trục tung Đường phân giác góc phần tư (I), (III) Trục hoành Trục tung và trục hoành Hướng dẫn giải: Nếu \(z=z+yi\) thì \(z^2=x^2-y^2+2xyi\) Nếu \(z^2\) có điểm biểu diễn thuộc trục hoành thì \(2xy=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) Đây là phương trình 2 trục tọa độ
