Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int\frac{1}{x}dx=ln\left|x\right|+C\) \(\int\cos xdx=\sin x+C\) \(\int\cos2xdx=\sin2x+C\) \(\int\frac{1}{\cos^2x}dx=tanx+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\sin2x+C\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left(x\right)=2+\cos2x\) và \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\pi\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(f\left(0\right)=\pi\) \(f\left(x\right)=2x-\sin2x+\pi\) \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\) \(f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+\pi\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+C\) \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi+C=2\pi\Rightarrow C=\pi\) Vậy \(f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+\pi\)
Đường ống dẫn nước Sông Đà bị vỡ, lượng nước sạch bị thất thoát với tốc độ tính bằng lít/phút. Tại phút thứ t là \(\mu\left(t\right)=\left(t+1\right)^2\). Tính khối lượng nước sạch thất thoát sau 2 giờ đầu tiên ? 590,520 \(m^3\) 890,121 \(m^3\) \(1.590,520m^3\) \(11.590,520m^3\) Hướng dẫn giải:
Đặt \(I=\int\limits^{\sqrt{2}}_{\frac{2}{\sqrt{3}}}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\) và \(t=\sqrt{x^2-1}\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(xdx=tdt\) \(x^2=t^2+1\) \(I=\int\limits^{\sqrt{2}}_{\frac{2}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t^2+1}\) \(I=\int\limits^1_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t^2+1}\) Hướng dẫn giải:
Tính tích phân \(I=\int\limits^2_1\frac{ln\left(1+x\right)}{x^2}dx\) ? \(3ln2-3ln\sqrt{3}\) \(2ln2-3ln\sqrt{3}\) \(4ln2-3ln\sqrt{3}\) \(3ln2\) Hướng dẫn giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0;y=3;y=x;y^2=2x\) ? \(\frac{3}{4}\) \(\frac{19}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{4}{3}\) Hướng dẫn giải:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x^3}{3};y=x^2\) ? \(\frac{46\pi}{35}\) \(\frac{486\pi}{35}\) \(\frac{86\pi}{35}\) \(\frac{4\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Hai đường \(y=\frac{x^3}{3};y=x^2\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \(\frac{x^3}{3}=x^2\Leftrightarrow x^2\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) Vậy, thể tích khối tròn xoay tạo thành là: \(V=\left|\pi\int\limits^3_0\left[\left(\frac{x^3}{3}\right)^2-\left(x^2\right)^2\right]\text{dx}\right|\) \(=\left|\pi\int\limits^3_0\left(\frac{x^6}{9}-x^4\right)\text{dx}\right|\) \(=\pi.\left[\frac{x^7}{63}-\frac{x^5}{5}\right]|^3_0=\frac{486\pi}{35}\)
Kí hiệu M là điểm biểu diễn số phức z. M' là điểm biểu diễn số phức \(\overline{z}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? M, M' đối xứng nhau qua trục tung M, M' đối xứng nhau qua trục hoành M, M' đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=x\) M, M' đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=-x\) Hướng dẫn giải: \(z=x+yi\Rightarrow z'=x-yi\) Điểm M(x; y) biểu diễn số z và M'(x;-y) là biểu diễn z'. Hai điểm này đối xứng nhau qua trục hoành.
Cho hai số phức \(z_1=\sqrt{3}-2i;z_2=1+\sqrt{3}i\) Tính số phức liên hợp của \(v=z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}.z_2\) ? 10i 1-10i -10i 10 Hướng dẫn giải: \(v=z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}.z_2\) \(=\left(\sqrt{3}-2i\right)\left(1-\sqrt{3}i\right)-\left(\sqrt{3}+2i\right)\left(1+\sqrt{3}i\right)\) \(=\sqrt{3}-3i-2i+2\sqrt{3}i^2-\sqrt{3}-3i-2i-2\sqrt{3}i^2\) \(=-10i\)
Khi số phức z thay đổi tùy ý, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(v=z^2-\left(\overline{z}\right)^2\) là đường nào trong mặt phẳng phức ? Trục tung Đường phân giác góc phần tư (I), (III) Trục hoành Đường phân giác góc phần tư (I), (III) và đường phân giác góc phần tư (I), (IV) Hướng dẫn giải: Gọi \(z=x+yi\) ta có: \(v=z^2-\left(\overline{z}\right)^2=\left(x+yi\right)^2-\left(x-yi\right)^2\) \(=4xyi\) Phần thực của v luôn bằng 0 nên v nằm trên trục tung.
