Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định liên tục trên R và có bảng biến thiên sau : Đường nào trong các đường sau đây có thể là đồ thị của hàm số đã cho ? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hướng dẫn giải: Từ bảng biến thiên thấy đồ thị đã cho có tiệm cận đứng \(x=-\frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang \(y=\frac{1}{2}\).
Trong các khoảng sau đây, hàm số \(y=\ln x^4\) đồng biến trên khoảng nào ? \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\) \(\left(0;+\infty\right)\) \(\left(-1;1\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=lnx^4\) có \(y'=\frac{4x^3}{x^4}=\frac{4}{x}\) dương trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\); âm trong khoảng \(\left(-\infty;0\right)\)
Trong các đường cong cho sau đây, đường nào là đồ thị của hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+2\) ? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho không có tiệm cận, Hình 2 là phù hợp.
Tìm các giá trị cực đại của hàm số \(y=\cos x+\sin x\) . \(\sqrt{2}\) \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\) \(-\sqrt{2}\) \(x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\left(k\in Z\right)\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) tuần hoàn, liên trục trên toàn trục số và có GTLN=\(\sqrt{2},\)GTNN=\(-\sqrt{2}\) cũng đồng thời là giá trị cực đại, cực tiểu. Vậy giá trị cực đại là \(\sqrt{2}.\)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x-1}{x^2+1}\) trên đoạn \(D=\left[\frac{3}{2};3\right]\) ? \(\max_Dy=\frac{-1+\sqrt{2}}{2};\min_Dy=\frac{171}{865}\) \(\max_Dy=\frac{2}{13};\min_Dy=\frac{1}{5}\) \(\max_Dy=\frac{-1+\sqrt{2}}{2};\min_Dy=\frac{2}{13}\) \(\max_Dy=\frac{-1+\sqrt{2}}{2};\min_Dy=\frac{1}{5}\) Hướng dẫn giải:
Biết rằng đường thẳng \(y=2x-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{-x-1}{x^2}\) tại 1 điểm duy nhất. Tính tung độ giao điểm ? 10 -2 \(\sqrt{2}\) \(\frac{11}{4}\) Hướng dẫn giải:
Tìm tham số để đồ thị hàm số \(y=x^4-2mx^2+2m+m^4\) có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều : \(m=-1\) \(m=2\) \(m=\sqrt[3]{3}\) \(m=\pm\sqrt[3]{3}\) Hướng dẫn giải: \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\) Để hàm số có 3 điểm cực trị thì y' có 3 nghiệm, hay là phương trình \(x^2-m=0\) có 2 nghiệm khác 0. Suy ra m > 0.
Đồ thị hàm số \(y=\frac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}\) (với \(m\ne0;m\ne-1\)) có bao nhiêu đường tiệm cận (đứng, ngang) ? 3 2 1 0 Hướng dẫn giải: Hàm số có miền xác định là: \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\). - Tiệm cận đứng: \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\frac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\frac{-mx+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\left\{\begin{matrix}+\infty.m+1>0\\-\infty,m+1< 0\end{matrix}\right.\) Vậy x = -1 là tiệm cận đứng \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{mx+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\left\{\begin{matrix}+\infty,m+1>0\\-\infty,m+1< 0\end{matrix}\right.\) Vậy x = 1 là tiệm cận đứng thứ hai - Tiệm cận ngang: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{mx}{x}+\frac{1}{x}}{\left(m^2+1\right)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{m}{m^2+1}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{m\left|x\right|+1}{\left(m^2+1\right)\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{m\left(-x\right)}{x}+\frac{1}{x}}{-\left(m^2+1\right)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{-m}{-\left(m^2+1\right)}=\frac{m}{m^2+1}\) (chú ý khi x < 0 thì \(x=-\sqrt{x^2}\)) Vậy hàm số có 1 tiệm cận ngang là \(y=\frac{m}{m^2+1}\) Kết luận: Hàm số có 1 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng.
Kí hiệu M. m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^2\ln x\) trên đọa [1; e]. Tính hiệu M - m ? \(e^2-\frac{e}{2}\) \(e^2-\frac{\sqrt{e}}{4}\) \(e^2\) \(\frac{\sqrt{e}}{4}-1\) Hướng dẫn giải:
Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3-\left(m-1\right)x^2+3\left(m+2\right)x+\frac{1}{3}\) đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) ? \(m< 0\) \(m>0\) \(m=0\) \(m\ge0\) Hướng dẫn giải:
