Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int\frac{1}{2x}dx=\ln\left|2x\right|+C\) \(\int e^xdx=e^x+C\) \(\int\sin xdx=-\cos x+C\) \(\int4^xdx=\frac{4^x}{\ln4}+C\) Hướng dẫn giải: \(\int\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}\ln\left|2x\right|+C\)
Tìm hàm số \(f\left(x\right)\) biết rằng đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e và có \(f'\left(x\right)=3x^2+2x+1,\forall x\) ? \(f\left(x\right)=\cos2x+e-1\) \(f\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\) \(f\left(x\right)=x^3+x^2+x+1\) \(f\left(x\right)=x^3+x^2+e\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\int f'\left(x\right)\text{dx}=\int\left(3x^2+2x+1\right)\text{dx}=x^3+x^2+x+C\) \(f\left(0\right)=e\) nên suy ra \(C=e\) Vậy \(f\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\)
Biết \(\delta\left(t\right)=3\left(25t+1\right)^2\) là tốc độ tăng dân số của một huyện tại năm thứ t tính từ thời điểm \(t=0\) (thời điểm hoàn thành thống kê dân số: ngày mùng 1 tháng 1 năm 2000), trong đó \(t\) được tính bằng năm, \(\delta\left(t\right)\) được tính bằng người / năm. Hãy tính xem trong khoảng thời gian từ ngày mùng 1 tháng 1 năm 2001 đến ngày mùng 1 tháng 1 năm 2004, số dân huyện đó tăng thêm bao nhiêu người? 41.212 412.120 17.559 175.590 Hướng dẫn giải: Sau 4 năm, số dân tăng là :
Đặt \(I=\int_1^2\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}\) và \(t=\sqrt{1+x^3}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(x^3=t^2-1\) \(x^2dx=\frac{2}{3}tdt\) \(I=\int\limits^2_1\frac{2}{3\left(t^2+1\right)}dt\) \(I=\frac{1}{3}\int\limits^3_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt\)
Tính tích phân \(I=\int\limits^1_0\left(x-1\right)e^xdx\) ? \(I=10,223\) \(I=e+\frac{1}{2}\) \(I=2-e^2\) \(I=2-e\) Hướng dẫn giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=\sqrt{y};x+y-2=0;y=0\) ? \(\frac{5}{6}\) \(\frac{6}{5}\) \(\frac{5}{7}\) \(\frac{7}{5}\) Hướng dẫn giải: Khử x từ 2 phương trình đầu ta được \(\sqrt{y}=2-y\). Phương trình này có nghiệm duy nhất y = 1. Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi: \(x=\sqrt{y};x=2-y;y=0;y=1\) Diện tích là: S = \(\left|\int\limits^1_0\left(2-y-\sqrt{y}\right)\text{dy}\right|\) \(=\left|\int\limits^1_0\left(2-y-y^{\frac{1}{2}}\right)\text{dy}\right|=\frac{5}{6}\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=\frac{\pi}{2};x=\pi;y=0;y=\sqrt{1+\cos^4x+\sin^4x}\) ? \(\frac{7}{8}\pi\) \(\frac{7}{8}\pi^2\) \(\frac{7}{8}\pi^3\) \(\frac{5}{8}\pi^2\) Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left[\left(\sqrt{1+\cos^4x+\sin^4x}\right)^2-0^2\right]\text{dx}\) \(=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos^4x+\sin^4x\right)\text{dx}\) \(=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left[1+\left(\cos^2x+\sin^2x\right)^2-2\cos^2x\sin^2x\right]\text{dx}\) \(=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left[1+1^2-\frac{1}{2}\sin^22x\right]\text{dx}\) \(=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left[2-\frac{1}{2}\frac{1-\cos4x}{2}\right]\) \(=\pi\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\cos4x\right)\text{dx}\) \(=\pi\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{16}\sin4x\right)|^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\) \(=\frac{7\pi^2}{8}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Số phức \(\pi=\pi-5\ln2\) có phần thực là \(\pi\) Có vô số phức bằng số phức liên hợp của nó Số phức \(z=3\sqrt{2}-i\) có phần thực là \(3\sqrt{2}\) Nếu số phức \(z\) cũng là số thực thì giá trị tuyệt đối của \(z\) cũng là môđun của \(z\)
Cho hai số phức \(z_1=1-5i;z_2=3+2i\). Tính phần ảo của số phức \(v=\frac{z_1^2}{z_2}\) ? \(\sqrt{19}\) \(\frac{18}{13}i\) \(\frac{18}{13}\) \(\frac{13}{18}\) Hướng dẫn giải: \(z_1^2=\left(1-5i\right)^2=1-10i+25i^2=1-10i-25=-24-10i\) \(v=\frac{z_1^2}{z_2}=\frac{-24-10i}{3+2i}=\frac{\left(-24-10i\right)\left(3-2i\right)}{\left(3+2i\right)\left(3-2i\right)}=\frac{-92+18i}{3^2-4i^2}=\frac{-92+18i}{13}\) Phần ảo của v là \(\frac{18}{13}\)
Khi số phức z thay đổi tùy ý, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(v=z^2+\left(\overline{z}\right)^2\) là đường nào trong mặt phẳng phức ? Trục tung Đường phân giác góc phần tứ (I), (III) Trục hoành Đường phân giác góc phần tư (I), (III) và đường phân giác góc phần tư (I), (IV) Hướng dẫn giải: Với \(z=x+yi\) thì \(v=z^2+\left(\overline{z}\right)^2=\left(x+yi\right)^2+\left(x-yi\right)^2=2\left(x^2+y^2i^2\right)=2\left(x^2-y^2\right)\in\mathbb{R}\)
