Trong mặt phẳng đã cho tam giác đều ABC tâm O. Khi quay mặt phẳng quanh đường thẳng AO thì tam giác ABC sinh ra một khối nón, đồng thời đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ABC thì sinh ra hai khối cầu: một khối cầu tiếp xúc với mặt đáy của khối nón, khối cầu kia chứa đỉnh và đường tròn đáy của khối nón (hai khối cầu này cũng được gọi là khối cầu nội tiếp và khối cầu ngoại tiếp khối nón). Nếu khối cầu nhỏ thể tích \(1cm^3\) thì khối cầu lớn có thể tích bao nhiêu ? \(8cm^3\) \(27cm^3\) \(5cm^3\) \(3cm^3\) Hướng dẫn giải:
Cho bốn điểm \(A\left(1;2;1\right);B\left(2;2;0\right);C\left(3;2;1\right);D\left(1;6;1\right)\). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ? (1; 2; 1) (2; 4; 1) (1; 4; 2) ( 1; 1; 0) Hướng dẫn giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):4x+y-2=0\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng (P) ? \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2}\) \(d:\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}\) \(d:\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-0}{1}\) \(\left\{\begin{matrix}x=4t\\y=t\\z=0\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Chỉ có đường thẳng \(\left\{\begin{matrix}x=4t\\y=t\\z=0\end{matrix}\right.\) có vecto chỉ phương (4;1;0) song song với vecto pháp tuyến của (P)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):3x-4z-1=0\). Mặt cầu nào trong các mặt cầu sau đây không cắt (P) ? \(\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2+z^2=1\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{4}{25}\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{1}{25}\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=5\) Hướng dẫn giải: Cả 4 mặt cầu đều có tâm là I(1;3;0) và khoảng cách từ I đến (P) là: \(d=\frac{3.1-4.0-1}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{2}{5}\) \(\Rightarrow d^2=\frac{4}{25}\) Chỉ có mặt cầu \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{1}{25}\) có bán kính nhỏ hơn khoảng cách từ tâm I đến (P) nên mặt cầu này không cắt (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left(1;2;-4\right);B\left(5;4;2\right)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB ? \(4x+2y+6z-11=0\) \(2x+3z-3=0\) \(10x+9y+5z-70=0\) \(2x+y+3z-6=0\) Hướng dẫn giải: Gọi M(x;y;z) thuộc (P) thì khoảng cách AM = BM. Suy ra: \(\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+4\right)^2}=\sqrt{\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2+\left(z-2\right)^2}\) \(\Leftrightarrow8x+4y+12z-24=0\) \(\Leftrightarrow2x+y+3z-6=0\)
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm \(M\left(1;-1;1\right)\) và chứa trục Oy ? \(x+z=0\) \(x-z=0\) \(x-y=0\) \(x+y=0\) Hướng dẫn giải:
Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left(8;-2;4\right)\) lên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C ? \(x+4y+2z-8=0\) \(x+4y-2z-8=0\) \(x-4y-2z-8=0\) \(x-4y+2z-8=0\) Hướng dẫn giải:
Cho hai mặt phẳng \(\left(P\right):x+2y+2z+3=0;\left(Q\right):x+2y+2z+7=0\) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix}x=t\\y=-1\\z=-t\end{matrix}\right.\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng đã cho : \(\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=\frac{4}{9}\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}\) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}\) Hướng dẫn giải:
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng xác định bởi \(\left\{\begin{matrix}2x+3y-2=0\\my+2z+4=0\end{matrix}\right.\) nằm trong mặt phẳng \(\left(P\right):2x-y-2z-6=0\) \(m=4\) \(m=-4\) \(m=2\) \(m=-2\) Hướng dẫn giải:
