ĐẠO HÀM HÀM CỦA HÀM SỐ I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: - Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b):$ $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$ - Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 $thì nó liên tục tại điểm đó. 2.Ý nghĩa của đạo hàm: a)Ý nghĩa hình học: - $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$. - Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x$) tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$ là: $y – y_0 = f'(x_0).(x – x_0)$ b)Ý nghĩa vật lí: - Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$. - Cường độ tức thời của điện lượng $Q = Q(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $I(t_0) = Q'(t_0)$. 3.Qui tắc tính đạo hàm: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\ \hline (C)'=0 &&&(\sin{x})'=\cos{x}&(\sin{u})'=u'\cos{u} \\ \hline (x)'=0 &&&(\cos{x})'=-\sin{x}&(\cos{u})'=-u'\sin{u} \\ \hline (x^n)'=1 &(u^n)'=n.u^{n-1}.u'&&(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})'=\frac{u'}{\cos^2{u}} \\ \hline (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})'=-\frac{u'}{\sin^2{u}} \\ \hline \end{array}$ Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm: $\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\ \hline Cộng & (u+v)'=u'+v'& \\ \hline Trừ & (u-v)'=u'-v'& \\ \hline Nhân & (uv)'=u'v+uv' & (ku)'=ku' \\ \hline Chia & (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} & (\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2} \\ \hline \end{array}$ Chú ý: Khi lấy đạo hàm của một hàm số thì ta nhìn từ trái sang phải và ưu tiên cho phép toán. 5.Vi phân: - $dy = df(x) = f\prime (x).\Delta x$ - $f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0}).\Delta x$ 6.Đạo hàm cấp cao: - Công thức: $f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^\prime }$; $f'''(x) = {\left[ {f''(x)} \right]^\prime }$; ${f^{(n)}}(x) = {\left[ {{f^{(n - 1)}}(x)} \right]^\prime }$ $(n \in \mathbb{N}, n \ge 4)$ - Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động $s = f(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $a(t_0) = f''(t_0)$. II.CÁC DẠNG BÀI TẬP. Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số: Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa: Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$. Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$. Bước 3: Kết luận. Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} - x$ tại ${x_0} = 1$. Giải: - Giả sử $\Delta{x}$ là số gia của đối số tại $x_0 = 1$. Khi đó: $\Delta y\, = \,\,f(\Delta x + 1)\, - f(1)\, = \,\,2{(\Delta x + 1)^2} - \Delta x - 1 - 1 = 2\Delta {x^2} + 3\Delta x$. - Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta {x^2} + 3\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x + 3} \right) = 3$. - Vậy: $f'(1) = 3$ Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: $f(x)\,\, = \,\,{x^2} - 3x$ Giải: - Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x$. Khi đó: $\Delta y\, = \,\,f(\Delta x + x)\, - f(x)\, = \,\,{(\Delta x + x)^2} - 3\Delta x - 3x - {x^2} + 3x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2x\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x)$. - Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x} \right) = 2x$. - Vậy: $f'(x) = 2x$ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: a) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} - x + 2$ tại ${x_0} = 1$ b) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,\sqrt {3 - 2x} $ tại ${x_0} = -3$ c) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ tại ${x_0} = 2$ d) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sin x$ tại $x_0 =\frac{\pi}{6}$ e) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sqrt[3]{x}$ tại $x_0 = 1$ f) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$ tại $x_0 = 0$ Bài tập 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: a) $f(x)\,\, = \,\,{x^2} - 3x + 1$ b) $f(x)\,\, = \,\,\sqrt {x + 1} ,\,\,(x\,\, > \,\, - 1)$ c) $f(x)\,\, = \,\,\frac{1}{{2x - 3}}$ d) $f(x)\,\, = \,\,\sin x$ Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán: Phương pháp: Sử dụng công thức cho trong bảng sau: Phép toán Công thức $\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\ \hline Cộng & (u+v)'=u'+v'& \\ \hline Trừ & (u-v)'=u'-v'& \\ \hline Nhân & (uv)'=u'v+uv' & (ku)'=ku' \\ \hline Chia & (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} & (\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2} \\ \hline \end{array}$ Ví dụ 1: $y\,\, = \,2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5 \Rightarrow y' = 8{x^3} - {x^2} + 4x$ Ví dụ 2: $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}} \Rightarrow y' = \frac{{(2x + 1)'(1 - 3x) - (2x + 1)(1 - 3x)'}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{2(1 - 3x) + 3(2x + 1)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{5}{{{{(1 - 3x)}^2}}}$ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y\,\, = \,2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x - 5$ b) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{{x^2}}} - \sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x $ c) $y\,\, = \,\,({x^3} - 2)(1 - {x^2})$ d) $y\,\, = \,\,({x^2} - 1)({x^2} - 4)({x^2} - 9)$ e) $y = ({x^2} + 3x)(2 - x)$ f) $y\,\, = \,\,\left( {\sqrt x + 1} \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)$ g) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{2x + 1}}$ h) $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}$ i) $y = \frac{{1 + x - {x^2}}}{{1 - x + {x^2}}}$ k) $y\,\, = \,\,\frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}$ Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y\,\, = \,x.c{\rm{osx}}$ b) $y\,\, = \,\,{x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ c) $y\,\, = \,\,x.\sqrt x $ d) $y = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}$ Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp: Phương pháp: Sử dụng công thức cho bởi bảng sau: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\ \hline (C)'=0 &&&(\sin{x})'=\cos{x}&(\sin{u})'=u'\cos{u} \\ \hline (x)'=0 &&&(\cos{x})'=-\sin{x}&(\cos{u})'=-u'\sin{u} \\ \hline (x^n)'=1 &(u^n)'=n.u^{n-1}.u'&&(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})'=\frac{u'}{\cos^2{u}} \\ \hline (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})'=-\frac{u'}{\sin^2{u}} \\ \hline \end{array}$ Chú ý: Sau các hàm không phải $x$ thì ta sử dụng hàm hợp $u$. Để khỏi quên thì các em có thể sử dụng tất cả các bài toán đều cho hàm hợp $u$ vẫn được. Ví dụ 1: $y\,\, = \,\,{({x^2} + x)^4} \Rightarrow y' = 4{({x^2} + x)^3}.({x^2} + x)' = 4(2x + 1){({x^2} + x)^3}$ Ví dụ 2: $y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} - 5x} \Rightarrow y' = \frac{{(2{x^2} - 5x)'}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x} }}$ Ví dụ 3:$y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1) \Rightarrow y' = 3{\sin ^2}(2x + 1).(\sin (2x + 1))' = 3{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)(2x + 1)' = 6{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)$ Ví dụ 4: $y = \sqrt {\sin x + 2x} \Rightarrow y' = \frac{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + 2x}})'}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }} = \frac{{c{\rm{osx + 2}}}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}$ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y\,\, = \,\,{({x^2} + x + 1)^4}$ b) $y\,\, = \,\,{(1 - 2{x^2})^5}$ c) $y\,\, = \,\,{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^3}$ d) $y\,\, = \,\,\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(x - 1)}^3}}}$ Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} $ b) $y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{{x^3} - x + 2}}$ c) $y\,\, = \,\,\sqrt {x + \sqrt x } $ d) $y\,\, = \,\,(x - 2)\sqrt {{x^2} + 3} $ Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y\, = \,\,{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}$ b) $y\,\, = \,\,{\cos ^4}(2x)$ c) $y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1)$ d) $y\,\, = \,\,\sqrt {\cot 2x} $ e) $y\,\, = \,\sin \left( {{{\cos }^2}x{{\tan }^2}x} \right)$ f) $y\,\, = \,\,{\cos ^2}\left( {\frac{{\sqrt {2x} + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao: Phương pháp: 1.Để tính đạo hàm cấp $2,\, 3,\, 4,\, ... $ta dung công thức: ${y^{(n)}}\,\, = \,\,{({y^{n - 1}})^/}.$ 2.Để tính đạo hàm cấp $n$: - Tính đạo hàm cấp $1,\, 2,\, 3, ...$ từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp $n$. - Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng. Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\sin x$. Tính $f''(\pi )$. Giải: $f'(x) = 3(x + 1)'\sin x + 3(x + 1)\left( {\sin x} \right)' = 3\sin x + 3(x + 1)c{\rm{osx}}$ $f''(x) = 3c{\rm{os}}x + 3(x + 1)'c{\rm{osx + }}3(x + 1)\left( {c{\rm{osx}}} \right)' = 3\cos x + 3\cos x - 3(x + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ $f''(\pi ) = 3\cos \pi + 3\cos \pi - 3(\pi + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\pi = - 6$ Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số: $y = \frac{1}{x}$. Giải: Ta có:$f'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}$ $f''(x) = \frac{{1.2}}{{{x^3}}}$ $f'''(x) = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}$ $….$ ${f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}$ Suy ra: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}$ Thật vậy: - Khi $n = 1$: Ta có: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{'}} = \frac{{( - 1).1!}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}$. Vậy: Mệnh đề đúng khi $n = 1$. - Khi $n = k > 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}$. Ta cần chứng minh: $n = k + 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right) + 1}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$ Ta có: ${\left({\frac{1}{x}}\right)^{\left({k + 1}\right)}}= {\left[{{{\left( {\frac{1}{x}}\right)}^k}}\right]^{'}}= {\left[{\frac{{{{(-1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}}\right]^{'}} = {(-1)^k}.k!{\left[{\frac{1}{{{x^{k+1}}}}}\right]^{'}}= \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}$. Vậy: Mệnh đề đúng khi $n =k+ 1$. Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\cos x$. a) Tính $f'(x),f''(x)$ b) Tính $f''(\pi ),\,\,f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right),f''(1)$ Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số theo cấp được chỉ ra: a) $y = \cos x,\,\,y'''$ b) $y = 5{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 7,\,\,y''$ c)$y = \frac{{x - 3}}{{x + 4}},\,\,y''$ d) $y = \sqrt {2x - {x^2}} ,\,\,y''$ e) $y = x\sin x,\,\,y''$ Bài tập 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) ${\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^{(n)}} = \,\frac{{{{( - 1)}^n}n!}}{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}$ b) ${(\sin x)^{(n)}} = \,\,\sin \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)$ c) ${(\cos x)^{(n)}} = \,\,\cos \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)$ Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp $n$ của các hàm số sau: a) $y\,\, = \,\,\frac{1}{{x + 2}}$ b) $y\,\, = \,\,\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}$ c) $y\,\, = \,\,\frac{x}{{{x^2} - 1}}$ d) $y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$ e) $y = {\sin ^2}x$ f) $y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ Vấn đề 2: Ứng dụng của đạo hàm: Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số: Phương pháp: - Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ (với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$). - Ta sử dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P'(x)}}{{Q'(x)}}$ (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$) Ví dụ 1: Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{5}{3}$ Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{5{x^4}}}{{3{x^2}}} = \frac{5}{3}$ Ví dụ 2: Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}$ Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5c{\rm{os}}5x}}{{4c{\rm{os}}4x}} = \frac{{5\cos (5.0)}}{{4\cos (4.0)}} = \frac{5}{4}$ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$ c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$ e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$ f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$ g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$ i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$ c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}$ e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$ f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16} - 4}}$ g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$ i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} - 7}}{x}$ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$ c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} - 7}}{x}$ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$ g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} - 1}}{x}$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$ Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$ e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$ g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} - 1}}{x}$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ Bài tập 6: Tính các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{\sin 2x}}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}$ c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{1 - \sin x}}{{{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^2}}}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos 2x}}$ e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}}{{1 - \sin x - \cos x}}$ f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x}}{{\sin 5x}}$ g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\tan x$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cos x}}$ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến: Phương pháp: 1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm $M(x_0; y_0) \in C$ là: $\,\,\,\,y - {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})(x - {x_0})\,\,\,\,\,\,$ (*) 2.Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k$: - Bước 1: Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = k$ (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm) - Bước 2: Giải phương trình tìm $x_0$, rồi tìm${y_0}\,\, = \,\,f({x_0}).$ - Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức (*). - Bước 4: Kết luận 3.Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ với $(C)$, biết $(d)$ đi qua một điểm $A(x_1; y_1)$ cho trước: - Bước 1: Gọi $(x_0; y_0)$ là tiếp điểm (với $y_0 = f(x_0)$). - Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d): $(d)$ qua $A({x_1},\,\,{y_1})\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} - {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})\,\,({x_1} - {x_0})\,\,\,\,(1)$ - Bước 3: Giải phương trình $(1)$ với ẩn là $x_0$, rồi tìm ${y_0} = f({x_0})$ và $f'({x_0}).$ - Bước 4: Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức (*). Chú ý: Cho $(\Delta): y = ax + b$. Khi đó: - $(d)\, / / \,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = a$ - $(d)\,\, \bot \,\,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = - \frac{1}{a}$ Ví dụ : Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} - 2x$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$: a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$. b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$ c) Tại điểm $M(0;0)$. d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$. Giải: a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$. - ${x_0}\,\, = \,1 \Rightarrow {y_0} = - 1$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {1; - 1} \right)$: $y + 1 = y'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y = - 1$ b) Tại điểm có tung độ ${y_0}\,\, = \,0$ ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y - 0 = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y = 2x$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y - 0 = y'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = 2x - 4$ c) Tại điểm $M(0;0)$. - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y - 0 = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y = 2x$ d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$. - Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow A(2;0)$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y - 0 = y'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = 2x - 4$ - Vậy: Pttt: $y = 2x - 4$ Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} - 2x + 3.$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$: a) Tại điểm có hoành độ $x_0= 1$. b) Tại điểm có tung độ $y_0=3$ c) Tại điểm $M(0;3)$. d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$. e) Song song với đường thẳng $4x – 2y + 5 = 0$. f) Vuông góc với đường thẳng $x + 4y = 0$. g) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp thành bởi các trục tọa độ. h) Tiếp tuyến đi qua điểm $A(2;1)$. Bài tập 2: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,{x^3} - 3{x^2}.$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$: a) Tại điểm có hoành độ $x_0=0$. b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$. c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành. d) Tại giao điểm của $(C)$ với trục tung. e) Tại điểm $I(1, –2)$. f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = -3$. g) Song song với đường thẳng $9x – y + 5 = 0$. h) Vuông góc với đường thẳng $x - 3y = 0$. l) Đi qua điểm $A(0;0)$. m) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị $(C)$ không đi qua $I$. Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}$ $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$: a) Tại điểm có hoành độ $x_0=2$. b) Tại điểm có tung độ $y_0=2$. c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành. d) Tại giao điểm của $(C)$ với trục tung. e) Tại điểm $A(2; –7)$. f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = \,\frac{1}{2}$. g) Song song với đường thẳng d: $y = \frac{1}{2}x + 100$. h) Vuông góc với đường thẳng $\Delta$: $2x + 2y – 5 = 0$. Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{2 - x + {x^2}}}{{x - 1}}$ $(C)$. a) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 1$. Bài tập 5: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,\,\sqrt {1 - x - {x^2}} .$ Tìm phương trình tiếp tuyến với $(C)$: a) Tại điểm có hoành độ $x_0 =\frac{1}{2}$ b) Song song với đường thẳng $d: x + 2y = 0$. Vấn đề 3: Các bài toán khác Dạng 1: Giải phương trình: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm. - Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác. Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình $f'(x) = 0$ với: a) $f(x) = 3\cos x - 4\sin x + 5x$ b)$f(x) = \cos x + \sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x - 1$ c) $f(x) = {\sin ^2}x + 2\cos x$ d) $f(x) = \sin x - \frac{{\cos 4x}}{4} - \frac{{\cos 6x}}{6}$ e) $f(x) = 1 - \sin (\pi + x) + 2\cos \frac{{3\pi + x}}{2}$ f) $f(x) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3(\cos x - \sqrt 3 \sin x)$ Bài tập 2: Giải phương trình $f'(x) = g(x)$ với: a) $\left\{ \begin{array}{l} f(x) = {\sin ^4}3x\,\,\\ g(x) = \sin 6x \end{array} \right.$ b) $\left\{ \begin{array}{l} f(x) = {\sin ^3}2x\,\,\\ g(x) = 4\cos 2x - 5\sin 4x \end{array} \right.$ c) $\left\{ \begin{array}{l} f(x) = 2{x^2}{\cos ^2}\frac{x}{2}\\ g(x) = x - {x^2}\sin x \end{array} \right.$ d) $\left\{ \begin{array}{l} f(x) = 4x{\cos ^2}\frac{x}{2}\\ g(x) = 8\cos \frac{x}{2} - 3 - 2x\sin x \end{array} \right.$ Dạng 2: Giải bất phương trinh: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm. - Giải bất phương trình đại số. Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải bất phương trình $f'(x) > g'(x)$ với: a) $f(x) = {x^3} + x - \sqrt 2 ,\,\,g(x) = 3{x^2} + x + \sqrt 2 $ b) $f(x) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ,\,\,g(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3 $ c) $f(x) = \frac{2}{x},\,\,g(x) = x - {x^3}$ Dạng 3: Bài toán chứa tham số: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm. - Giải bất phương trình đại số. Bài tập tương tự: Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi $x \in \mathbb{R}$: a) $f'(x) > 0\,\,\text{vơí}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} - 3{x^2} + mx - 5$ b) $f'(x) < 0\,\,\text{với}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} - \frac{{m{x^2}}}{2} + (m + 1)x - 15$
