Câu 1: Người ta cần xây một hồ nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\frac{{288}}{5}{m^3}.\) Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng/\({m^2}.\) Nếu kích thước của hồ nước được tính toán để chi phí thuê nhân công là ít nhất thì chi phí đó là bao nhiêu? A. 28 (triệu đồng) B. 36 (triệu đồng) C. 42 (triệu đồng) D. 72 (triệu đồng) Spoiler: Xem đáp án Đặt chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là x (x > 0) Chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật là \(\frac{3}{2}x.\) Chiều cao của hình hộp chữ nhật h. Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V = \frac{3}{2}.x.x.h = \frac{{3{x^2}h}}{2} = \frac{{288}}{5} \Leftrightarrow h = \frac{{192}}{{5{x^2}}}.\) Gọi S là diện tích phần cần xây hồ, \({S_1}\) là diện tích đáy hồ. Ta có: \(S = {S_{xq}} + {S_1} = \left( {\frac{3}{2}x + x} \right).2.h + \frac{3}{2}x.x = 5x.h + \frac{3}{2}{x^2}\) \( = 5x.\frac{{192}}{{5{x^2}}} + \frac{3}{2}{x^2} = \frac{{192}}{x} + \frac{3}{2}{x^2}\) Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì \(S = f(x) = \frac{3}{2}{x^2} + \frac{{192}}{x}\) với x > 0 phải đạt giá trị nhỏ nhất Ta có: \(f'(x) = 3x - \frac{{192}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 64 \Leftrightarrow x = 4\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x > 0} \,f(x) = f(4) = 72\) Vậy \({S_{\min }} = 72{m^2}\) Vì giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng/\({m^2}\) nên chi phí thuê nhân công thấp nhất là: 500 000.72 = 36 000 000 (đồng) = 36 (triệu đồng).
Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - |x|.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số f(x) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. B. Hàm số f(x) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. C. Hàm số f(x) không có điểm cực đại và có hai điểm cực tiểu. D. Hàm số f(x) có hai điểm cực đại và một cực tiểu. Spoiler: Xem đáp án f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \(\begin{array}{l}f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x,x \ge 0\\{x^2} + x,x < 0\end{array} \right.\\f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1,x > 0\\2x + 1,\,x < 0\end{array} \right.\end{array}\) f(x) không có đạo hàm tại x = 0 \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}.\) Bảng xét dấu f’(x): Suy ra hàm số f(x) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = cosx + mx nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(m \le - 1\) B. \(m < - 1\) C. \(m \ge - 1\) D. \(m > 1\) Spoiler: Xem đáp án f(x) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + m \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\,\forall x \in \mathbb{R}.\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f(x),\,\,f(x) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\\ \Leftrightarrow m \le - 1\end{array}\) Vậy chọn A
Câu 4: Hàm số \(y = {\log _2}({x^2} + 3x + 3) - \frac{x}{{\ln 2}}\) tăng trên khoảng nào sau đây? A. \(( - \infty ; - 1) \cup (0; + \infty )\) B. \(( - \infty ; - 2) \cup (1; + \infty )\) C. \(( - 1;0)\) D. \(( - \infty ; + \infty )\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^3} + 3x + 3 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Ta có: \(y' = \frac{{2x + 3}}{{({x^2} + 3x + 3).ln2}} - \frac{1}{{\ln 2}}.\) Để hàm số \(y = {\log _2}({x^2} + 3x + 3) - \frac{x}{{\ln 2}}\) tăng thì đạo hàm của hàm số đó là không âm. \(\begin{array}{l}\frac{{2x + 3}}{{({x^2} + 3x + 3).\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3 \ge {x^2} + 3x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + x \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 0\end{array}\) Vậy trong các phương án đã cho, phương án đúng là hàm số tăng trên khoảng (-1;0).
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^2} - mx + 1\) bằng -3. A. m = 6 B. m=4 C. m=2 D. m=-4 hoặc m=4. Spoiler: Xem đáp án Lưu ý: Hàm số bậc hai \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\,(a > 0)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) đạt được tại \(x = - \frac{b}{{2a}}.\) Ta có: -\( - \frac{{{m^2} - 4}}{4} = - 3 \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 4\end{array} \right.\) Vậy các giá trị thực m thoả mãn yêu cầu bài toán là: m=-4 hoặc m=4.
Câu 6: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vược một khoảng cách là 200km. Vận tốc của dòng nước là 6 km/giờ. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/giờ) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: \(E = c{v^3}t\) Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 15 (km/giờ) B. 12(km/giờ) C. 6 (km/giờ) D. 9 (km/giờ) Spoiler: Xem đáp án Vận tốc bơi của cá khi bơi ngược dòng là v – 6 (km/giờ) Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 200km là \(t = \frac{{200}}{{v - 6}}\) (giờ) Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là: \(E = c{v^3}.\frac{{200}}{{v - 6}} = 200c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\) (jun) Xét hàm số \(E = 200c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\)với v > 6. Ta có: \(E'(v) = 400c{v^2}.\frac{{v - 9}}{{{{(v - 6)}^2}}},E'(v) = 0 \Leftrightarrow v = 9\) (vì v > 6). Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy khi vận tốc bơi của cá là 9 (km/giờ) thì năng lượng tiêu hao của cá là ít nhất.
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ - 2;2\} ,}}\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x=-2 và x=2 B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=-3 và y=3 C. Hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0 D. Hàm số đạt cực trị tại điểm x=0. Spoiler: Xem đáp án Quan sát bảng biến thiên dễ thấy các phương án A,B,C đều đúng. Chỉ có phương án D sai vì: y’ không đổi dấu khi x đi qua 0.
Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{4}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;4]. A. 3 B. 4 C. \(\frac{{24}}{5}\) D. 6 Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình f’(x)=0 được hai nghiệm x = 1 và x = -3. Lưu ý \( - 3 \in {\rm{[}}0;4]\) nên loại x =-3 Tính giá trị của hàm số đã cho tại các điểm x=0, x=1, x=4 rồi so sánh các giá trị đó ta được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;4] là \(\frac{{24}}{5}\) nên chọn C.
Câu 9: Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên tập xác định B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 1; + \infty )\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) Ta có: \(y' = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}},y' > 0\,\,\forall x \ne - 1.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) Vậy mệnh đề đúng là: “Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\)”.
Câu 10: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'(x) = x{(x - 1)^2}{(x + 2)^3}.\) Hỏi hàm số f(x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 6 D. 5 Spoiler: Xem đáp án f’(x) xác định trên \(\mathbb{R}\), có một nghiệm đơn là 0, một nghiệm bội lẻ là -2 và một nghiệm bội chẵn là 1 nên f’(x) đổi dấu hai lần khi x đi từ \( - \infty \) đến \( + \infty \) Vậy số điểm cực trị của f(x) là 2.
