Câu 91: Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 2{\rm{x}} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng 5. A. \(\left( { - 6; - 3} \right) \cup \left( {0;2} \right).\) B. \(\left( { - 4;3} \right).\) C. \(\left( { - 5; - 2} \right) \cup \left( {0;3} \right).\) D. \(\left( {0; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2},\,\,x \in \left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right].\) Ta có: \(y = f\left( t \right) = \left| {t + m - 1} \right|.\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( t \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 4 \right)} \right\} = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} \left\{ {\left| {m - 1} \right|,\left| {m + 3} \right|} \right\}\) TH1: Với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \left| {m - 1} \right|\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\\left| {m - 1} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\\left| {m - 1} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 4.\) TH2: Với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \left| {m + 3} \right|\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m - 1} \right|\\\left| {m + 3} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\\left| {m + 3} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\) Vậy các giá trị của m tìm được thỏa mãn tập hợp \(\left( { - 5; - 2} \right) \cup \left( {0;3} \right).\)
Câu 92: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số \(y = {\rm{ax + }}\sqrt {{x^2} + 1} \) có cực tiểu. A. \( - 1 < a < 1.\) B. \(0 \le a < 1.\) C. \( - 1 < a < 2.\) D. \( - 2 < a < 0.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {\rm{ax}} + \sqrt {{x^2} + 1} ,x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'\left( x \right) = a + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f''\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}.\) Hàm số đã cho có cực tiểu khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f''\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right)\) có nghiệm. Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0 \Leftrightarrow - a = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\,\,\left( * \right)\) với \(x \in \mathbb{R}.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Tính các giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1.\) Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 < - a < 1 \Leftrightarrow - 1 < a < 1.\)
Câu 93: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f'}\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = {f'}\left( x \right)\) được cho như hình vẽ bên. Biết \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right).\) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) lần lượt là: A. \(f\left( 0 \right),f\left( 5 \right).\) B. \(f\left( 2 \right),f\left( 0 \right).\) C. \(f\left( 1 \right),f\left( 5 \right).\) D. \(f\left( 2 \right),f\left( 5 \right).\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị \(y = {f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right],\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\): Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\) Từ giả thiết, ta có: \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right)\) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2;5} \right]\) \( \Rightarrow f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) > f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right)\) Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = m{\rm{ax}}\left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 5 \right)} \right\} = f\left( 5 \right).\)
Câu 94: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {{4^x} - 1} \right).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\) B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right).\) C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right).\) D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{4^x} - 1} \right)\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right).\)
Câu 95: Hàm số nào trong các hàm số sau nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)?\) A. \(y = - {x^2} + x.\) B. \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right).\) C. \(y = \frac{2}{{x - 1}}.\) D. \(y = - \frac{1}{x}.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right)\) có \(y' = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln \frac{1}{2}}} < 0,\forall x > 0\) nên hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) C sai do hàm số \(y = \frac{2}{{x - 1}}\) không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) A sai do \(y' = ( - {x^2} + x)' = - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) nên hàm số không biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) D sai do hàm số \(y = - \frac{1}{x}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 96: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^4} - 4} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là: A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^4} - 4} \right) = (x - 1){({x^2} - 2)^2}({x^2} + 2)\) Ta thấy \(f'(x)\) chỉ đổi dấu tại điểm x=1. Do đó hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 97: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right].\) Giá trị của biểu thức \(5M + m\) bằng: A. \( - \frac{{24}}{5}.\) B. \(\frac{{24}}{5}.\) C. \(0.\) D. \( - \frac{4}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ { - 2;0} \right]\) do đó hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right].\) Khi đó \(m = y\left( 0 \right) = - 1;\,\,M = y\left( { - 2} \right) = \frac{1}{5} \Rightarrow 5M + m = 0.\)
Câu 98: Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\) A. \(y = {x^4} + {x^2} + 2.\) B. \(y = {x^2} + x + 2.\) C. \(y = {x^3} - x + 1.\) D. \(y = {x^3} + x - 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {x^3} + x - 2 \Rightarrow y' = 3{{\rm{x}}^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) do đó hàm số \(y = {x^3} + x - 2\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
Câu 99: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = m\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) - \frac{4}{3}\left( {x - 3} \right)\sqrt {x - 3} - 3\) luôn đồng biến trên tập xác định. A. \(m \ge \frac{2}{3}.\) B. \(m \ge \frac{1}{2}.\) C. \(m \ge \frac{4}{3}.\) D. \(m \ge \frac{3}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = m\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) - \frac{4}{3}\left( {x - 3} \right)\sqrt {x - 3} - x \Rightarrow y' = 2m\left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 3} - 1;\forall x \ge 3.\) Đặt \(t = \sqrt {x - 3} \ge 0 \Leftrightarrow x = {t^2} + 3,\) khi đó: \(y' = f\left( t \right) = 2m\left( {{t^2} + 2} \right) - 2t - 1.\) Hàm số đồng biến trên tập xác định khi: \(f\left( t \right) \ge 0,\forall t \ge 0 \Leftrightarrow 2m\left( {{t^2} + 2} \right) \ge 2t + 1;\forall t \ge 0.\) \( \Leftrightarrow 2m \ge \frac{{2t + 1}}{{{t^2} + 2}};\forall t \ge 0 \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( t \right)\) với hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{2t + 1}}{{{t^2} + 2}}.\) Mặt khác \(g\left( t \right) - 1 = \frac{{2t + 1}}{{{t^2} + 2}} - 1 = - \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{t^2} + 2}} \le 0 \Leftrightarrow g\left( t \right) \le 1 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( t \right) = 1.\) Vậy \(2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}\).
Câu 100: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} - 2.\) Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right).\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\\f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\),\(\left( {2; + \infty } \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right).\)
