Câu 101: Hàm số \(y = - \frac{{{x^4}}}{4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1\) đạt cực đại tại điểm nào? A. \(x = - 3.\) B. \(x = 0.\) C. \(x = 2.\) D. \(x = 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1} \right)^\prime } = - {x^3} + 4{\rm{x}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - {x^3} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right..\) Lại có \(y'' = - 3{{\rm{x}}^2} + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( 0 \right) = 4 > 0\\y''\left( { - 2} \right) = y''\left( 2 \right) = - 8 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \) hàm số đạt cực đại tại \(x = 2;\,\,x = - 2.\)
Câu 102: Hai địa điểm A, B cách nhau 50km. Hai ô tô đồng thời khởi hành, ô tô thứ nhất xuất phát từ A và đi theo hướng vuông góc với AB với vận tốc 60 (km/h). Ô tô thứ hai xuất phát từ B và đi về địa điểm A với vận tốc 70(km/h). Khi khoảng cách giữa hai ô tô nhỏ nhất thì ô tô thứ hai cách A bao nhiêu km? A. \(\frac{{420}}{{17}}km.\) B. \(\frac{{490}}{{17}}km.\) C. \(\frac{{360}}{{17}}km.\) D. \(\frac{{350}}{{17}}km.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có đồ thị biểu diễn chuyển động hai xe như hình trên \({S_1} = 60t\left( {km} \right),{S_2} = 70t\left( {km} \right).\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AM = 60t\,\,\left( {km} \right)\\AN = 50 - 70t\left( {km} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d = MN = \sqrt {{{\left( {60t} \right)}^2} + {{\left( {50 - 70t} \right)}^2}} \) là khoảng cách giữa hai xe. Xét hàm số \(f(t) = {(60t)^2} + {(50 - 70t)^2},t > 0\) ta có: \(f'(t) = 1000(17t - 7);\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{{17}}\) Vậy khoảng cách hai xe ngắn nhất lúc \(t = \frac{7}{{17}}\) khi đó xe cách A một đoạn \(AN = \frac{{360}}{{17}}.\)
Câu 103: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}.\) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. A. \(m = 2.\) B. \(m = 1.\) C. \(m = - 1.\) D. \(m = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}} \right)^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 4\left( {m + 1} \right)x = 4{\rm{x}}\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right].\) Hàm số có ba cực trị, khi đó PT \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1.\) Gọi A, B, C là tọa độ 3 cực trị của đồ thị hàm số, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^2}} \right)\\B\left( {\sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right)\\C\left( { - \sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {m + 1} ; - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right)\end{array} \right.\) Suy ra \(AB = AC \Rightarrow \Delta ABC\) nếu vuông thì sẽ vuông tại A. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)
Câu 104: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f'\left( t \right) = 4{t^3} - \frac{{{t^2}}}{2}\) (người). Nếu xem \(f'\left( t \right)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy? A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( t \right) = 12{t^2} - 2{t^3}\). Bệnh không còn lây la khi \(f'\left( t \right) = 12{t^2} - 2{t^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 6\end{array} \right. \Rightarrow t \in \left[ {0;6} \right]\). \(f''\left( t \right) = 124t - 6{t^2} \Rightarrow f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24t - 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 4 \right) = 64\\f'\left( 6 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \max f'\left( t \right) = f\left( 4 \right).\)
Câu 105: Xét \(f\left( x \right)\) là một hàm số tùy ý. Trong bốn mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng? (I) Nếu \(f\left( x \right)\)có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) (II) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = {x_0}\) (III) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = {x_0}\). (IV) Nếu \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\) thì \(f''\left( x \right) < 0\) A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Trong các mệnh đề trên, chỉ có mệnh đề (I) đúng. (II) sai, cần có thêm điều kiện \(f'(x)\) đổi dấu tại \(x = {x_0}.\) Ví dụ hàm số: \(y = {x^3}.\) (III) sai, nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( x \right) > 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\). (IV) sai, nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực đạitại \(x = {x_0}\). Chiều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số \(y = {x^4}.\) Ở mệnh đề (IV) “Nếu \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\) thì \(f''\left( x \right) < 0\)“có đến hai lỗi sai. Thử nhất mối quan hệ giữa cực tiểu và \(f''(x).\) Lỗi sai thứ hai, đây là định lý một chiều dạng “Nếu…thì….”, nên chiều ngược lại không đúng như đã trình bày ở trên.
Câu 106: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) A. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\) B. \(m \in \left( { - 2;0} \right)\) C. \(m \in \left( {2; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {\left( {\frac{{mx - 4}}{{x - m}}} \right)^\prime } = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi: \(y' < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {m^2} < 0\\x - m \ne 0\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 2\end{array} \right.\\m \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 2} \right).\)
Câu 107: Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 11\). Hãy chọn khẳng định đúng. A. Hàm số nhận điểm \(x = 1\) làm điểm cực đại. B. Hàm số nhận điểm làm điểm \(x = - 1\) cực tiểu. C. Hàm số nhận điểm làm điểm \(x = 3\) cực đại. D. Hàm số nhận điểm làm điểm \(x = 3\) cực tiểu. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3x - 9x + 11} \right)^\prime } = 3{x^2} - 6x - 9 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\) Mặt khác \(f''\left( x \right) = 6x - 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f''\left( { - 1} \right) = - 12 < 0\\f''\left( 3 \right) = 12 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số nhận điểm \(x = - 1\) làm điểm cực đại, nhận điểm \(x = 3\) là điểm cực tiểu.
Câu 108: Với giá trị nguyên nào của k thì hàm số \(y = k{x^4} + \left( {4k - 5} \right){x^2} + 2017\) có ba cực trị? A. k = 3 B. k = -1 C. k = 1 D. k = 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {\left[ {k{x^4} + \left( {4k - 5} \right){x^2} + 2017} \right]^\prime } = 4k{x^3} + 2\left( {4k - 5} \right)x = 2x\left( {2k{x^2} + 4k - 5} \right)\) Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 2x\left( {2k{x^2} + 4k - 5} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó PT \(2k{x^2} + 4k - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 0.\) Xét \(k = 0,\) không thỏa yêu cầu. Xét \(k \ne 0,\) ta có: \({x^2} = \frac{{5 - 4k}}{{2k}} > 0 \Leftrightarrow 0 < k < \frac{5}{4},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1.\)
Câu 109: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\). B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {x^2} - x - 6 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 2\end{array} \right.\\y' < 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow - 2 < x < 3\end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right).\)
Câu 110: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\). Tính giá trị của \(T = M + m.\) A. \(T = 2\) B. \(T = - 24\) C. \(T = - 20\) D. \(T = - 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)^\prime } = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 2} \right) = - 20\\y\left( 0 \right) = 0\\y\left( 1 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 0\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = - 20\end{array} \right. \Rightarrow T = - 20.\)
