Câu 111: Số nghiệm của phương trình \({x^5} + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} - 2017 = 0.\) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Spoiler: Xem đáp án ĐIều kiện: \(x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\) \({x^5} + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} - 2017 = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^4} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2} }}} \right) = 2017 \Rightarrow x > 0.\) Do đó ta chỉ xét với \(x > \sqrt 2 .\) Phương trình ban đầu tương đương \({x^4} = \frac{{2017}}{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2} }}.\) Đặt \(f(x) = {x^4};\,g(x) = \frac{{2017}}{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2} }}\) Ta có f(x) đồng biến trên \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right);\,f(\sqrt 2 ) = 4.\) \(g'(x) = - \frac{{2017}}{{{x^2}}} + \frac{x}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - 2} } \right)}^3}}}\) \(g'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt[3]{{{{2017}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{2017}^2}}} - 1}} = a\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} g(x) = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0.\) Mặt khác: \(f(a) < g(a)\) Bảng biến thiên: Suy ra phương trình ban đầu có 2 nghiệm.
Câu 112: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\).Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(2f\left( x \right).f''\left( x \right) = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}\)có bao nhiêu nghiệm. A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Chọn \(a = 0,\,b = - 3,\,c = 0 \Rightarrow y = {x^3} - 3x\) thỏa phương trình \(y = 0\) có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó: \(y' = 3{x^2} - 3,\,y'' = 6x.\) Do đó: \(\begin{array}{l}2f(x).f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^2} \Leftrightarrow 2({x^3} - 3x).(6x) = {(3{x^2} - 3)^2}\\ \Leftrightarrow 12{x^4} - 36{x^2} = 9{x^4} - 18{x^2} + 9 \Leftrightarrow 3{x^4} - 18{x^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 3 + 2\sqrt 3 > 0\\{x^2} = 3 - 2\sqrt 3 < 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {3 + 2\sqrt 3 } .\end{array}\)
Câu 113: Tìm a, b để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y = a{x^3} + \left( {a - 1} \right){x^2} - 3x + b\)đều là những số dương và \({x_0} = - 1\,\)là điểm cực tiểu. A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b > 1\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b > 2\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b > - 2\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b > - 3\end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2\left( {a - 1} \right)x - 3\,\,\,y'' = 6ax + 2a - 2;\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) Điểm \({x_0} = - 1\) là điểm cực tiểu của hàm số khi: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 1} \right) = 0\\y''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2\left( {a - 1} \right) - 3 = 0\\ - 6a + 2a - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\) Khi đó, hàm số đã cho trở thành \(y = {x^3} - 3x + b\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Yêu cầu bài toán trở thành \(y\left( { \pm 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 2 > 0\\b + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b > 2\). Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b > 2\end{array} \right.\).
Câu 114: Tìm giá trị giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 9}}{x}\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right].\) A. \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} = - 6\) B. \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} = - \frac{{25}}{4}\) C. \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} = - 10\) D. \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} = - 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = x + \frac{9}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{9}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 \in \left[ { - 4; - 1} \right]\\x = 3 \notin \left[ { - 4; - 1} \right]\end{array} \right.\) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\). Mặt khác: \(y\left( { - 4} \right) = \frac{{ - 25}}{4};y\left( { - 3} \right) = - 6;y\left( { - 1} \right) = - 10\) suy ra \(\mathop {\max }\limits_{[ - 4; - 1]} y = - 6.\)
Câu 115: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số sau \(y = {x^3} + 3{x^2} - 5.\) A. -1 B. -2 C. 0 D. -5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.;y'' = 6x + 6\) Do \(y''\left( 0 \right) = 6 > 0\) nên hàm sô đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0.\) Giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = y(0) = - 5.\)
Câu 116: Tìm m hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + 2m\) đạt cực trị tại điểm \(x = - 1.\) A. \(m = 0\) B. \(m = - 1\) C. \(m = 1\) D. \(m = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2mx - 3\left( {m + 1} \right) = f\left( x \right)\) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = -1 là \(f\left( { - 1} \right) = 3 - 2m - 3\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 0\) Với \(m = 0 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Vậy với m=0, hàm số đạt cực trị tại x=1.
Câu 117: Hàm số \(y = {x^3} - 3x\) đồng biến trên các khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\) do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Lưu ý: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right),\) không đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Thật vậy: Với \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - \frac{3}{2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow y\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \frac{9}{8}.\\{x_2} = \frac{3}{2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow y\left( {\frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{8}.\end{array} \right.\) Ta thấy tồn tại \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\): \({x_1} < {x_2}\) mà \(y\left( {{x_1}} \right) > y\left( {{x_2}} \right).\) Vậy hàm số không đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 118: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right) = a\sqrt {{x^2} + 1} - x\) có cực đại. A. \(a < - 1\) B. \(0 < a < 1\) C. \(a > 1\) D. \(a \le - 1\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f\left( x \right) = a\sqrt {{x^2} + 1} - x\) với \(x \in \mathbb{R}\), ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1;f''\left( x \right) = \frac{a}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\) Để hàm số đã cho có cực đại khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\\{f''\left( {{x_0}} \right) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow ax = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\left( * \right)\) với \(x \ne 0\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\) , có \(g'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} < 0;\forall x \ne 0\) suy ra \(g\left( x \right)\)là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó pt (*) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 1}\\{a < - 1}\end{array}} \right.\) Kết hợp với điều kiện \(a < 0,\) vậy \(a < - 1\) là giá trị cần tìm.
Câu 119: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có \(f\left( { - 2} \right) = 16\) và đạt cực trị tại các điểm \(x = 2,x = - 2\). Tính \(f\left( 2 \right)\) A. \(f\left( 2 \right) = 4\) B. \(f\left( 2 \right) = - 16\) C. \(f\left( 2 \right) = 0\) D. \(f\left( 2 \right) = - 12\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)' = 3{x^2} + 2ax + b\) Theo đề bài ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( { - 2} \right) = 16}\\{f'\left( 2 \right) = 0}\\{f'\left( { - 2} \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 8 + 4a - 2b + c = 16}\\{12 + 4a + b = 0}\end{array}}\\{12 - 4a + b = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 12}\\{c = 0}\end{array}}\end{array}} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 16.\)
Câu 120: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 4mx + 4{m^2} + 3} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) A. \(m \le - 1\) B. \(m > - 1\) C. \(m \le 2\) D. \(m > 2\) Spoiler: Xem đáp án Đang cập nhật ...
