Câu 171: Hỏi hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 5x - 44\)đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(\left( { - \infty ;5} \right)\) C. \(\left( {5; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 5x - 44\) Ta có: \(y' = - {x^2} + 4x + 5\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 1\end{array} \right.\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;5} \right).\)
Câu 172: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\) có cực đại và cực tiểu. A. \(m > 1\) B. \(m \ne - 2\) C. \(m \ne 0\) D. \(\forall m \in \mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Với \(m = 0 \Rightarrow y = 2{x^2} + x - 1 \Rightarrow \) hàm số có duy nhất một cực trị Với \(m \ne 0\), xét hàm số \(y = m{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + x - 1\), ta có \(y' = 3m{x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 1;\forall x \in \mathbb{R}\) Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt Hay \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 3m > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 3m > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 4 > 0;\forall m \ne 0 \Rightarrow \) hàm số luôn có hai điểm cực trị. Vậy \(m \ne 0\) là giá trị cần tìm.
Câu 173: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\) Khi đó \(y'' = 12{x^2} - 4 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4 < 0;y''\left( { \pm 1} \right) = 8 > 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) là hai điểm cực tiểu. Tọa độ các điểm cực tiểu là \(A\left( {1;0} \right),B\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = 2.\)
Câu 174: Người ta dùng một tấm sắt tây hình chữ nhật có kích thước \(30 \times 48\)cm để làm một cái hộp không nắp bằng cách cắt bỏ đi bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gấp lên. Thể tích lớn nhất của hộp là A. 3886 \(c{m^3}\) B. 3880 \(c{m^3}\) C. 3900 \(c{m^3}\) D. 3888 \(c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt. Khi đó, thể tích khối hộp là \(V = x\left( {30 - 2x} \right)\left( {48 - 2x} \right)\) Xét hàm số \(V\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right)\left( {48 - 2x} \right)\) với \(x \in \left( {0;15} \right)\). Ta có \(V'\left( x \right) = 12\left( {{x^2} - 26x + 120} \right)\) Phương trình \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < 15}\\{{x^2} - 26x + 120}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < 15}\\{\left( {x - 6} \right)\left( {x - 20} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 6\) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(V\left( 6 \right) = 3888 \Rightarrow {V_{\max }} = 3888c{m^3}\)
Câu 175: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng: A. 2 B. 0 C. 1 D. 18 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\) Mặt khác \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 - \sqrt 3 }\\{x = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) mà \(\left\{ {1;1 - \sqrt 3 } \right\} \in \left[ { - 2;2} \right]\) Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 0\)
Câu 176: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là: A. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\) B. \(2\sqrt 5 \) C. 2 D. \(\sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) Gọi A, B là 2 cực trị của đồ thị hàm số, suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {0;0} \right)}\\{B\left( {2; - 4} \right)}\end{array} \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 } \right..\)
Câu 177: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng 2m, chiều cao 6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gốc có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V. A. \(V = \frac{{32}}{3}\left( {{m^3}} \right)\) B. \(V = \frac{{32}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\) C. \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\) D. \(V = \frac{{16}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử khối trụ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r, h’ (0<x<2; 0<h’<6). Ta có: \(\frac{{h'}}{6} = \frac{{2 - x}}{2} \Leftrightarrow h' = 6 - 3x\) Thê tích khồi trụ: \(V = \pi {x^2}h' = \pi {x^2}(6 - 3x) = 6\pi {x^2} - 3\pi {x^3},0 < x < 2\) \(\begin{array}{l}V'(x) = 12\pi x - 9\pi {x^2}\\V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{3}\) Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là: \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Câu 178: Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn có một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí C, biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng). A. 1.400.000 đồng B. 800.000 đồng C. 2.160.000 đồng D. 1.665.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Đặt \(BC = x.\) Ta có: \(\Delta BCE \sim \Delta CEF\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{DF}} \Rightarrow \frac{x}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt {C{D^2} - 4} }}\\ \Rightarrow {x^2}\left( {C{D^2} - 4} \right) = C{D^2} \Leftrightarrow C{D^2} = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 1}} \Leftrightarrow CD = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\end{array}\) Vậy chi phí sản xuất thang là: \(f(x) = \left( {x + \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right){.4.10^5},x > 1\) \(f'(x) = {4.10^5}\left( {1 + \frac{{2\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}}{{{x^2} - 1}}} \right) = {4.10^5}\left( {1 - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^3}}}} \right)\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^3} = 4 \Rightarrow x = \sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} \) Lập bảng biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} \) Vậy chi phí sản xuất nhỏ nhất là: \(f\left( {\sqrt {\sqrt[3]{4} + 1} } \right) \simeq 1.665.000.\)
Câu 179: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định? A. \(\left( { - 2;2} \right)\) B. \(\left( { - \infty ;2} \right]\) C. \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{mx - 4}}{{x - m}}} \right)^\prime } = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\) Với \(m = \pm 2\) thì \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi: \(y' > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;2} \right)\)
Câu 180: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + {m^4} - 3{m^2} + 2017\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32? A. m=2 B. m=3 C. m=4 D. m=5 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m - 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} - m + 1} \right);\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m - 1\end{array} \right.\) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’=0 có ba nghiệm phân biệt hay \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\left( * \right)\) Kho đó tọa độ các điểm cực trị là: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;{m^4} - 3{m^2} + 2017} \right)\\B\left( {\sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\\C\left( { - \sqrt {m - 1} ;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^4} + \left( {m - 1} \right)} \\BC = 2\sqrt {m - 1} \end{array} \right.\) Suy ra tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC thì H là trung điểm BC nên \(H(0;{m^4} - 4{m^2} + 2m + 2016)\) Ta có: \(AH = \sqrt {{{( - {m^2} + 2m - 1)}^2}} = {(m - 1)^2}\) Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {\left( {m - 1} \right)^2}\sqrt {\left( {m - 1} \right)} = 32 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^5} = 1024 \Leftrightarrow m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*)).
