Câu 181: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên R và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 6} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số \(f\left( x \right)?\) A. Đạt cực đại tại điểm \(x = 1\). B. Đạt cực tiểu tạo điểm \(x = - 3\). C. Đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\). D. Đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\x = - 3\end{array} \right.\) Do y’ đổi dấu âm sang dương khi qua điểm \(x = - 3\) nên \(x = - 3\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 182: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị đường cong ở hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)? A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2\). B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\). C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\). D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1.\)
Câu 183: Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\). D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + 1} \right)' = 3{x^2} - 12x + 9;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right).\)Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;3);\left( {3; + \infty } \right);\)
Câu 184: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x - m\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\) Tìm tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục tung. A. \(A\left( {0; - 2} \right).\) B. \(A\left( {0;2} \right).\) C. \(A\left( {0; - 1} \right).\) D. \(A\left( {0;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\\y'' = 2{\rm{x}} - 2\left( {m - 1} \right)\end{array} \right.\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), khi đó: \(y'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = 0\\m = 2 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow m = 2.\) \(Suy\,\,ra\,\,y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 2} \right).\)
Câu 185: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{{3^{ - x}} - 3}}{{{3^{ - x}} - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\) A. \(m < \frac{1}{3}.\) B. \(\frac{1}{3} < m < 3.\) C. \(m \le \frac{1}{3}.\) D. \(m > 3.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{{3^{ - x}}\left( {m - 3} \right).\ln 3}}{{{{\left( {{3^{ - x}} - m} \right)}^2}}}\) Với m=3, ta có \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên (-1;1) khi: \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\{3^{ - x}} - m \ne 0\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne {3^{ - x}}\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left( {\frac{1}{3};3} \right)\\m < 3\end{array} \right. \Rightarrow m \le \frac{1}{3}.\)
Câu 186: Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (giây) kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (mét). Giả thiết quả bóng được đá từ độ cao 1 m và đạt được độ cao 6 m sau 1 giây đồng thời sau 6 giây quả bóng lại trở về độ cao 1 m. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể từ lúc bắt đầu được đá, độ cao lớn nhất của quả bóng đạt được bằng bao nhiêu? A. 9m B. 10m C. 6m D. 13m Spoiler: Xem đáp án Quỹ đạo của quả bóng là parabol \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c.\) Theo dữ kiện đề bài ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\6 = a + b + c\\1 = 36{\rm{a}} + 6b + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 6\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = - {x^2} + 6{\rm{x}} + 1.\) \(y' = - 2{\rm{x}} + 6;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( 3 \right) = 10\\y\left( 5 \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \) độ cao lớn nhất đạt được trong 5s đầu là 10m.
Câu 187: Cho hàm số \(y = x - \sin 2{\rm{x}} + 1.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu. B. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại. C. Hàm số nhận \(x = - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu. D. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực đại. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 1 - 2co{\rm{s2x}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\) Theo các phương án ta chỉ cần kiêm tra tại \(x = \frac{\pi }{6}.\) Mặt khác \(y'' = 4\sin 2{\rm{x}} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\sqrt 3 > 0 \Rightarrow \)hàm số nhận điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
Câu 188: Hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - 4; - 3} \right).\) B. \(\left( { - 1;0} \right).\) C. \(\left( {0;1} \right).\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\) Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 189: Đồ thị hàm số nào sau đây có một điểm cực tiểu? A. \(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\) B. \(y = - {x^4} - 2{x^2}.\) C. \(y = - {x^3}.\) D. \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\) Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0\)có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Kiểm tra tương tự với các hàm số khác.
Câu 190: Tìm các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + 4{m^3}\) có cực đại và cực tiểu đồng thời tổng các cực đại và cực tiểu có giá trị bằng 108. A. \(m = 3.\) B. \(m \ne 0.\) C. \(m = 54.\) D. \(m = - 3.\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) và có \({\rm{y'}} = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x;}}\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}}\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\) Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt hay \(m \ne 0.\) Khi đó tọa độ các điểm cực trị của hàm số là\(A\left( {0;4{m^3}} \right),\,\,B\left( {2m;0} \right).\) Ta có: \({y_{C{\rm{D}}}} + {y_{CT}} = 108 \Leftrightarrow 4{m^3} = 108 \Leftrightarrow m = 3.\)
