Câu 11: Các hàm số dưới đây đều có tập xác định là \(\mathbb{R}.\) Quan sát đồ thị của các hàm số trong hình vẽ dưới đây và cho biết hàm số nào đồng biến trên tập xác định? A. y =f(x) B. y=g(x) C. y=h(x) D. y=k(x) Spoiler: Xem đáp án Quan sát hình vẽ, ta thấy: + Hàm số y = f(x) nghịch biến trên \(( - \infty ;1)\) , do đó không đồng biến trên tập xác định. + Hàm số y = g(x) nghịch biến trên một khoảng con chứa trong khoảng (0;1) do đó không đồng biến trên tập xác định. + Hàm số y = k(x) nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và (0;1), do đó không đồng biến trên tập xác định. + Hàm số y = h(x) đồng biến trên tập xác định.
Câu 12: Cho hàm số \(y = {x^3} + 3m{x^2} + 3({m^2} - 1)x + {m^3}.\) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0. A. m=-1 B. m=0 C. m=2 D. m=1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6mx + 3({m^2} - 1).\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Rightarrow y'(0) = 0 \Leftrightarrow 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.\) Nếu m=-1 thì \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=2 \(y' > 0 \Leftrightarrow x < 0\) hoặc x > 0 và \(y' < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2.\) Vì vậy tại x=0 hàm số đạt giá trị cực đại. Nếu m=1 thì \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=-2 \(y' > 0 \Leftrightarrow x < - 2\) hoặc x > 0 và \(y' < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0.\) Vì vậy tại x=0 hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Câu 13: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu như hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao là h(cm) và có thể tích là \(256c{m^3}.\) Tìm giá trị của x để diện tích của mảnh các tông nhỏ nhất. A. x = 8(cm) B. x = 6(cm) C. x = 10(cm) D. x = 9(cm) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của hợp là: \(V = {x^2}.h = 256(c{m^3}) \Rightarrow h = \frac{{256}}{{{x^2}}},x > 0.\) Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là: \(S = {x^2} + 4hx = {x^2} + 4x.\frac{{256}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{1024}}{x}\) Xét hàm số \(S(x) = {x^2} + \frac{{1024}}{x}\) với x > 0. Ta có: \(S'(x) = 2x - \frac{{1024}}{{{x^2}}},S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 8.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy diện tích của mảnh các tông nhỏ nhất bằng \(192c{m^2}\), đạt được khi x=8 (cm)
Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số \(y = {e^x}{(x - 2)^2}\) trên đoạn [1;3] A. -e B. 0 C. e D. \({e^3}\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Xét hàm số\(y = {e^x}{(x - 2)^2}\) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\) Ta có: \(y' = {e^x}{(x - 2)^2} + {e^x}.2(x - 2) = {e^x}({x^2} - 2x).\) \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\) Trên đoạn [1;3] ta có: \(y(1) = e;\,\,y(2) = 0;\,\,y(3) = {e^3}.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {e^x}{(x - 2)^2}\) trên đoạn [1;3] là 0 Cách 2: \(y = {e^x}{(x - 2)^2} \ge 0,\forall x \in {\rm{[}}1;3]\) Dấu “=” xảy ra khi x=2. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {e^x}{(x - 2)^2}\) trên đoạn [1;3] là 0.
Câu 15: Cho hàm số y = x.sinx. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(xy'' - 2y' + xy = - 2\sin x.\) B. \(xy'' - 2y' + xy = 2\sin x\) C. \(xy'' - 2y' + xy = 2x\cos x.\) D. \(xy'' - 2y' + xy = - 2\sin x + x\cos x.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số y=xsinx. Ta có: \(y' = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + x\cos x;\,\,y'' = c{\rm{osx + }}c{\rm{osx}} - x\sin x = 2\cos x - x\sin x.\) Khi đó: \(xy'' - 2y' + xy = x(2\cos x - x\sin x) - 2({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + x\cos x) + x.xsinx\) \( = 2x\cos x - {x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\sin x - 2x\cos x + {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - 2\sin x.\)
Câu 16: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x - 1}}\) trên đoạn [3;5]. A. -4 B. 8 C. \(\frac{{17}}{2}\) D. \(\frac{{33}}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình y’=0 được hai nghiệm x=4 và x=-2. Lưu ý \( - 2 \notin {\rm{[}}3;5]\) nên loại x =-2. Tính giá trị của hàm số đã cho tại các điểm x = 3; x = 4; x = 5 rồi so sánh các giá trị đó, ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số đã trên đoạn [3;5] là 8 nên chọn B.
Câu 17: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị B. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng -11. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1. Spoiler: Xem đáp án Quan sát bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho có 2 cực trị. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là y = 5. Hàm số đạt cực tiểu x = 1 và giá trị cực tiểu là y = -11. Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)nên hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Vậy trong các khẳng định đã cho, khẳng định đúng là: “Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x=1”
Câu 18: Cho hàm số \(f(x) = - \frac{{{x^4} + 1}}{5}.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến trên \(( - \infty ;0).\) B. Hàm số f(x) nghịch biến trên \(( - \infty ;0).\) C. Hàm số f(x) nghịch biến trên tập xác định. D. Hàm số f(x) đồng biến trên \((0; + \infty ).\) Spoiler: Xem đáp án Vì hàm đơn giản nên tính ngay \(f'(x) = - \frac{4}{5}{x^3}.\) Thấy ngay x < 0 thì \(f'(x) = - \frac{4}{5}{x^3} > 0\) nên hàm số đồng biến.
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\sin 2x - m\cos 2x = 2m\sin x - 2\cos x\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right].\) A. \(\left[ {1;2} \right]\) B. \(\left[ {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2};2} \right]\) C. \(\left[ {0;1} \right]\) D. \(\left[ {0;\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right]\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\sin 2x - m\cos 2x = 2m\sin x - 2\cos x\\ \Leftrightarrow m\left( {2\sin x + \cos 2x} \right) = \sin 2x + 2\cos x,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow \left( {2\sin x + \cos 2x} \right) \ne 0\end{array}\) \( \Rightarrow m = \frac{{\sin 2x + 2\cos x}}{{2\sin x + \cos 2x}}\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin 2x + 2\cos x}}{{2\sin x + \cos 2x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 2\sin 3x - 2 \le 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) \( \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \le f\left( x \right) \le 2\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \le m \le 2 \Leftrightarrow m \in \left[ {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2};2} \right].\)
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 1\) có ba cực trị. A. \(m < - 1\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\) D. \(m > 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left[ {{x^4} + \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 1} \right]' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2x\left( {2{x^2} + {m^2} - 1} \right)\) Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi PT \(y' = 2x\left( {2{x^2} + {m^2} - 1} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt Khi đó PT \(2{x^2} + {m^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 0\) khi: \(\frac{{1 - {m^2}}}{2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1 \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;1} \right).\)
