Câu 191: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 1} \right){x^2} + m{\rm{x}} + 5.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\) A. \(1 \le m \le 2.\) B. \(m \le 1.\) C. \(m \le 2.\) D. \(m \ge 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m\) Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)khi: \(y' = \underbrace {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m}_{f\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\) Điều này tương đương với hai trường hợp sau: Trường hợp 1: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Trường hợp 2: \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} \le 2.\) Từ 2 trường hợp trên ta có: \(YCBT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S - 4 < 0\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 - 4 < 0\\4 - 2m - 2 + m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2.\)
Câu 192: Tìm giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].\) A. \(\frac{{23}}{{27}}.\) B. 1 C. -1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + \sin x + 1.\) Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) khi đó hàm số trở thành \(y = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right].\) Ta có: \(y' = 3{t^2} + 4t + 1\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\) Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 1;\,\,y\left( 1 \right) = 5;\,\,y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}} \Rightarrow \,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \frac{{23}}{{27}}.\)
Câu 193: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x + 3}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định. A. \( - \sqrt 3 < m < \sqrt 3 .\) B. \(m < \sqrt 3 .\) C. \(m > - \sqrt 3 .\) D. \(m < 9.\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}.\) Ta có \(y' = \frac{{3 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}.\) \(y' = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 ,\) khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi: \(3 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3 .\)
Câu 194: Hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\). Tìm các hệ số a, b, c, d. A. \(a = - 2,b = 3,c = 0,d = 1\). B. \(a = - 2,b = 3,c = 1,d = 0\). C. \(a = - 1,b = 1,c = 1,d = 0\). D. \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\), \(f''\left( x \right) = 6ax + 2b\). Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\) điều kiện là: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0{\rm{ }}\\ f\left( 1 \right) = 1\\ f'\left( 0 \right) = 0\\ {\rm{f}}\left( 1 \right) = 0\\ f''\left( 0 \right) > 0\\ f''\left( 1 \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 0\\ a + b + c + d = 1\\ c = 0\\ 3a + 2b + c = 0\\ 2b > 0\\ 6a + 2b < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ c = d = 0 \end{array} \right.\) Thử lại với \(a = - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 195: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) trên khoảng (0; 3). A. m=-1. B. m=1. C. m=3. D. m=4. Spoiler: Xem đáp án Đạo hàm: \(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0;3} \right)} y = y\left( 1 \right) = 3\) đạt được tại \(x = 1\).
Câu 196: Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1.\) A. \(\left( {0;1} \right).\) B. \(\left( { - 1;0} \right).\) C. \(\left( {1;0} \right).\) D. \(\left( { - 1;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) và có \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}},\,\,y'' = 12{x^2} - 4.\) \(y'' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\) Vì \(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 1.\) Vì \(y''\left( { \pm 1} \right) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1.\)
Câu 197: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có một điểm cực đại. B. Hàm số có một điểm cực tiểu. C. Hàm số có một điểm cực đại và một cực tiểu. D. Không có cực trị. Spoiler: Xem đáp án Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Đạo hàm: \(y' = - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với \(\forall x \in D\) ⇒ Hàm số không có cực trị.
Câu 198: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right).\) D. \(\left( {0;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 199: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian t (s) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng 10 (m/s), hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5 (s) B. 6 (s) C. 1 (s) D. 2(s) Spoiler: Xem đáp án Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = 10 + {t^2} - 7t\left( {m/s} \right)\) Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{7}{2}{t^2} + 10t\left( m \right)\) Ta có \(S'\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10 \Rightarrow S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 5}\end{array}} \right.\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S\left( 0 \right) = 0}\\{S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}}\\{S\left( 5 \right) = \frac{{25}}{6}}\\{S\left( 6 \right) = 6}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;6} \right]} S\left( t \right) = S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\)
Câu 200: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\) A. 1 B. 2 C. -3 D. -6 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\) Mặt khác \(y = \frac{8}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 \right) = 1 > 0}\\ {y\left( { - 3} \right) = - 1 < 0} \end{array}} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\)
