Câu 201: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; + \infty } \right)\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l}y' = {x^2} - x - 12\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \((4; + \infty) \), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right).\)
Câu 202: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 - m\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. A. \(m = 1\) B. \(m = 2\) C. \(m = 0\) D. \(m = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.\). Hàm số có 3 điểm cực trị khi \(m > 0\) Khi đó gọi \(A\left( {0;1; - m} \right);B\left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right);C\left( { - \sqrt m ;1 - 2m} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. O là trục tâm giác giá ABC nên \(OB \bot AC\) Suy ra: \(\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ;1 - 2m} \right).\left( { - \sqrt m ; - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m + \left( {1 - 2m} \right)m = 0 \Rightarrow m = 1.\)
Câu 203: Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu? A. \(y = {x^4} - {x^2} + 3\) B. \(y = - {x^4} - {x^2} + 3\) C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\) D. \(y = {x^4} + {x^2} + 3\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số bậc bốn trùng phương có 2 cực đại và cực tiểu suy ra hệ số của \({x^4}\) âm và phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt. Kiểm tra 4 phương án ta thấy C thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 204: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) như hình vẽ bên. Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right].\) A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên [-2;4] như hình vẽ: Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { - 1} \right) = 3.\)
Câu 205: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tìm mệnh đề sai. A. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f'}\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right).\) B. Nếu \({f'}\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right).\) C. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f^'}\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right).\) D. Nếu \({f'}\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f'}\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f'}\left( x \right)\) vẫn có thể bằng 0.
Câu 206: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) của nó trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó, trên K, hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\) và đổi dấu từ âm sang dương tại 1 điểm, do đó trên khoảng K, hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực tiểu.
Câu 207: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm số \(F\left( x \right)\) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. A. \(F\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} - {e^2}.\) B. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}.\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}}}{3}.\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - 1}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} \) Đặt \(u = {x^3} - 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} - 1} \right)dx\) Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\) Ta có: \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) Mặt khác \(F''\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} F''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\ F''\left( { - 1} \right) = - 2{{\rm{e}}^2} < 0 \end{array} \right..\) Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1. Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}} + 2}} - 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)
Câu 208: Hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - 1;0} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\) D. \(\left( {0;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}}\) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right).\)
Câu 209: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x\) trên đoạn \(D = \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right].\) A. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\) B. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4}\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\) C. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4};\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\) D. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\) Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x = 2{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + 1\) Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) ta có: \(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} - 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} - 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\) Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{19}}{{27}}.\) Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Câu 210: Cho hàm số \(y = \frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}\) (m là tham số, \(m \ne 0\)). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right].\) A. \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) B. \(m > 0\) C. \(m < 0\) D. \(m \in \emptyset \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}} \right)'} = \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{1 - {x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { - 2} \right) = - 2m}\\{y\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2}m}\\{y\left( 1 \right) = \frac{5}{2}m}\\{y\left( 2 \right) = 2m}\end{array}} \right.\) . Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m > 0.\)
