Câu 211: Một đại lý xăng dầu cần làm một bồn chứa dầu hình trục có đáy và nắp đậy bằng tôn với thể tích \(16\pi \left( {{m^3}} \right)\). Biết rằng giá thành (cả vật liệu và tiền công) được tính theo mét vuông, tìm đường kính đáy của bồn để đại lý phải trả ít chi phí nhất. A. 1m B. 8m C. 4m D. 2m Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_T} = \pi {R^2}h = 16\pi \Rightarrow {R^2}h = 16\) Lại có diện tíc vật liệu làm bồn chứa dầu là \(S = {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi \left( {{R^2} + \frac{{16}}{R}} \right)\) Xét hàm số \(f(R) = {R^2} + \frac{{16}}{R},R > 0\) \(\begin{array}{l}f'(R) = 2R - \frac{{16}}{{{R^2}}}\\f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{R^3} - 16}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = 2.\end{array}\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số f(R) đạt giá trị lớn nhất tại R=2. Suy ra diện tích toàn phần nhỏ nhất bồn chứa là: \({S_{\min }} = 24\pi \) khi R=2.
Câu 212: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) (có thể hàm số \(f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\)). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) B. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) C. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) D. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)=0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) Spoiler: Xem đáp án A sai: Hàm số vẫn có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm không xác định. B sai: Ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^3}.\) C sai: ta có thể lấy phản ví dụ với hàm số \(y = {x^4}.\) D là một khẳng định đúng: Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\)
Câu 213: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định? A. \(y = - {x^2} + 2\) B. \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\) C. \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\) D. \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Kiểm tra 4 phương án ta có: Hàm số \(y = - {x^2} + 2\) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất Hàm số \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\) và \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\) không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Câu 214: Hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{{e^x}}}{{x + 1}}} \right)^,} = \frac{{x.{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{x.{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy hàm số số đạt cực đại tại x=0.
Câu 215: Trong các hàm số sau, hàm số nào đống biến trên \(\mathbb{R}\)? A. \(y = \frac{{3x - 4}}{{2x - 1}}\) B. \(y = \sin 3x + 4x\) C. \(y = 3{x^2} + 4x - 7\) D. \(y = - 3x + 4\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)và \(y' \ge 0\,,x \in \mathbb{R}\) với điệu kiện phương trình y’=0 có hữu hạn nghiệm. Kiểm tra các hàm số ta có B là phương án đúng.
Câu 216: Cho hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\) C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \left( { - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1} \right) = - {x^3} + 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\), đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)
Câu 217: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x}\) có giá trị cực đại \({y_1}\)và giá trị cực tiểu \({y_2}\). Tính \(S = {y_2} - {y_1}.\) A. \(S = - 1\) B. \(S = - 5\) C. \(S = 4\) D. \(S = - 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Mặt khác \(y = \frac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 1} \right) = - 2 < 0}\\ {y\left( 1 \right) = 2 > 0} \end{array}} \right.\) Vậy hàm só đạt cực đại tại \(x = - 1;\) đạt cực tiểu tại x=2. Do đó: \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = y\left( { - 1} \right) = - 5}\\{{y_2} = y\left( 1 \right) = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_2} - {y_1} = 4.\)
Câu 218: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. \(x = - 2\) B. \(x = 1\) C. \(x = 0\) D. \(x = 2\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0.
Câu 219: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = f'\left( x \right),y = f\left( x \right)\) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên. A. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) B. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) C. \(\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)\) D. \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy tại các điểm mà \(\left( {{C_3}} \right)\) đạt cực trị thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Tại các điểm mà \(\left( {{C_1}} \right)\) đạt cực trị thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: \(\left( {{C_3}} \right)\) là đồ thị của f(x); \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị của f’(x); \(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị của \(f''\left( x \right).\)
Câu 220: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = mx - \left( {m + 1} \right).\cos x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) A. Không có m B. \( - 1 \le m \le - \frac{1}{2}\) C. \(m < - \frac{1}{2}\) D. \(m > - 1\) Spoiler: Xem đáp án \(y = mx - \left( {m + 1} \right)\cos x \Rightarrow y' = m + \left( {m + 1} \right)\sin x\) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)thì \(y' \ge 0\) với mọi m khi \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0\)với điều kiện y’=0 tại một số hữu hạn điểm. \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sin x \ge - m\) + Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1,\) ta có: \(Sinx \ge - \frac{m}{{m + 1}}\) Xét hàm số: \(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m > - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\) Bảng biến thiên: Vậy không tồn tại giá trị m>-1 thỏa yêu cầu bài toán (1) + Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1,\) ta có: \(Sinx \le - \frac{m}{{m + 1}}\) Xét hàm số: \(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m < - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\) Bảng biến thiên: Vậy không tồn tại m<- thỏa yêu cầu bài toán. + Với m=-1, hàm số trở thành: y=x, không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.
