Câu 221: Hàm số \(y = \sin x\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. \(x = - \frac{\pi }{2}\) B. \(x = \pi \) C. \(x = 0\) D. \(x = \frac{\pi }{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \sin x \Rightarrow y' = \cos x;\,y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\) Khi \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2};k = - 1 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{2}\) nên loại B và C Ta có: \(y'' = - \sin x\) Ta có: \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1 < 0;\,\,y''\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 > 0\) Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{\pi }{2}.\)
Câu 222: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right].\) A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 0\) B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - \frac{3}{7}\) C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 4\) D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 1\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in \left[ {0;3} \right]}\\{x = - 2 \in \left[ {0;3} \right]}\end{array}} \right.\) Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = - 1;y\left( 3 \right) = \frac{1}{7} \Rightarrow Miny = - 1\)
Câu 223: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0 B. Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\) D. Giá trị cực đại của hàm số là 5 Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) (y’ đổi dấu từ âm sang dương).
Câu 224: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. \(\left( { - 1;1} \right)\) B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) C. \(\left( {0;2} \right)\) D. \(\left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3{x^2}\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Câu 225: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là: A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{e^{\frac{\pi }{6}}}.\) C. 1 D. \(\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \left( {{e^x}\cos x} \right)' = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}.\) Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}\\y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
Câu 226: Cho hàm số \(y = \frac{{m{\rm{x}} - 2}}{{x + m - 3}}.\) Tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: A. \(1 \le m \le 2.\) B. \(m = 1.\) C. \(1 < m < 2.\) D. \(m = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {x + m - 3} \right)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\) Khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: \(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2.\)
Câu 227: Cho hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - \sqrt 3 x.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) B. Hàm số có điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đáp án ta thấy: Hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x - \sqrt 3 = - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 .\) \( - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \le \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ. Hàm số không có cực trị.
Câu 228: Hàm số \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 3\) có điểm cực đại \({x_{CD}}\) và điểm cực tiểu \({x_{CT}}\) là: A. \({x_{C\S}} = - 2,{x_{CD}} = 2,{x_{CT}} = 0.\) B. \({x_{CT}} = - 1,{x_{CT}} = 1,{x_{CD}} = 0.\) C. \({x_{CT}} = - 2,{x_{CT}} = 2,{x_{CD}} = 0.\) D. \({x_{CD}} = - 1,{x_{CD}} = 1,{x_{CT}} = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}\,;\,{\rm{y'}} = 0 \Leftrightarrow - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\) Mặt khác: \(y'' = - 12{{\rm{x}}^2} + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( 0 \right) = 4 > 0\\y''\left( 1 \right) = y''\left( { - 1} \right) = - 8 < 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_{C{\rm{D}}}} = - 1,{x_{C{\rm{D}}}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Câu 229: Cho hàm số \(y = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} .\) Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}.\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) D. Hàm số có đạo hàm là \(y' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \left[ {x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} } \right]' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) > 0 \Leftrightarrow x + \sqrt {1 + {x^2}} > 1 \Leftrightarrow x > 0\\y' < 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x + \sqrt {1 + {x^2}} < 1 \Leftrightarrow x < 0\end{array} \right.\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
Câu 230: Cho hàm số \(y = x\ln {\rm{x}}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e.\) B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = e.\) C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\) D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{e}.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow y' = \left( {x\ln {\rm{x}}} \right)' = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \ln {\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}.\) Mặt khác \(y'' = \left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)' = \frac{1}{x} \Rightarrow y''\left( {\frac{1}{e}} \right) = e > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
