Câu 231: Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa \({x_0},f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và f có đạo hàm cấp hai tại \({x_0}.\) Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì f đạt cực đại tại \({x_0}.\) B. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì f đạt cực tiểu tại \({x_0}.\) C. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì f đạt cực trị tại \({x_0}.\) D. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì f không đạt cực trị tại \({x_0}.\) Spoiler: Xem đáp án Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì hàm số f(x) vẫn có thể đạt cực trị tại \({x_0}.\) Thật vậy: Xét hàm số \(y = {x^4}\) có \(y''\left( 0 \right) = 0\) tuy nhiên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số.
Câu 232: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí \(A\) trên mặt biển cách bờ biển một khoảng \(AB = 5km\) . Trên bờ biển có một cái kho ở cách \(B\) \(7\) km. Người canh hải đăng có thể chèo đò đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4km/h\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6km/h\) . Vị trí của điểm \(M\) cách \(B\) một khoảng bằng bao nhiêu để người đó đi đến kho \(C\) ít tốn thời gian nhất. A. \(0\) km. B. \(7\) km. C. \(2\sqrt 5 \)km. D. \(5\sqrt 2 \)km. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(BM = x\), ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + 25} ,BC = 7 - x\) Thời gian để người canh hải đăng đi từ A đến C là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6},(0 \le x \le 7)\) \(f'(x) = \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} - \frac{1}{6} = \frac{{3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} }}{{12\sqrt {{x^2} + 25} }}\) \(\begin{array}{l}f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} = 4({x^2} + 25)\\ \Leftrightarrow 5{x^2} = 100 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \end{array}\) \(f(0) = \frac{{29}}{{12}},f(2\sqrt 5 ) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},f(7) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\) \(\mathop {\min }\limits_{x \in {\rm{[}}0;7]} = f(2\sqrt 5 ) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\)
Câu 233: Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\), tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung. A. \(m > 0\) B. \(m \ge \frac{1}{3}\) C. \(m \le \frac{1}{3}.\) D. \(m < 0.\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} + 2x + m\). Hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung khi \(y' = 0\) có 2 nghiệm trái dấu. Điều này xảy ra khi: \(ac < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)
Câu 234: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(m > \frac{1}{3}\) B. \(m \ge \frac{1}{3}\) C. \(m \le \frac{1}{3}\) D. \(m < \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} + 2x + m\) có \(\Delta = {2^2} - 4.3.m = 4 - 12m\) Hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}.\)
Câu 235: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) với \(x > 0.\) A. \(m = 3.\) B. \(m = 2.\) C. \(m = 1.\) D. \(m = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = 3\).
Câu 236: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^3} + 3\). Kết luận nào sau đây là đúng? A. Cực đại hàm số bằng \(3\). B. Cực đại hàm số bằng \(3\). C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\). D. Đồ thị của hàm số có \(2\) cực trị. Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(f'(x)=x^4-4x=x(x^2-4)\). Giải \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x(x^2-4)\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 2 \end{matrix}\) Bảng biến thiên: Vậy cực đại của hàm số bằng 3.
Câu 237: Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ,1} \right)\). B. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) C. \(\left( {2, + \infty } \right)\). D. \(\mathbb{R}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = - 3{x^2} + 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0,2} \right)\).
Câu 238: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\). A. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\). B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\). C. \(\left[ {0;1} \right]\). D. \(\left[ { - 1;0} \right]\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 2\end{array} \right.\). Do đó ta có bảng biến thiên: Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m + 2 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0\).
Câu 239: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(1\). A. \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\). B. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\). C. \(m = 1\). D. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\). Để hàm số có ba cực trị thì \(m > 0\,\,\,\,\left( * \right)\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.\). Ta có tọa độ các điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)\). Cách 1: Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \in Oy\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC\) thuộc \(Oy\). Gọi \(I\left( {0;t} \right)\) với \(t < 1\). Theo giả thiết ta có \(IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) . Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) Cách 2: Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)\). Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC\). Mà \(R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH\). Từ đó suy ra \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Câu 240: Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\), \(y = f''(x)\) được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\) và \(y = f''(x)\) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? A. \(({C_3});({C_2});({C_1})\). B. \(({C_2});({C_1});({C_3})\). C. \(({C_2});({C_3});({C_1})\). D. \(({C_1});({C_3});({C_2})\). Spoiler: Xem đáp án Ta thấy tại điểm cực trị của \(\left( {{C_2}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right).\) Tại điểm cực trị của \(\left( {{C_1}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right).\)
